Parçalı Fonksiyonlarda Süreklilik ve Grafik Analizi
Yayınlanma:
17. Dik koordinat düzleminde verilen f fonksiyonunun grafiği, özdeş üç eğrinin farklı konumlandırılmasıyla elde edilmiştir. Bu üç eğrinin her biri, her iki ucu da dolu olduğunda çeyrek çember ifade etmektedir.
[Görselde f(x) fonksiyonunun grafiği yer almaktadır]
Tanım kümesi, f fonksiyonunun tanım kümesiyle aynı olan sürekli g fonksiyonu
$$g(x) = \begin{cases} |f(x)| &, x \le 0 \\ f(x) - b &, x > 0 \end{cases}$$
biçiminde tanımlı olduğuna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?
A) 24 B) 36 C) 20 D) 42 E) 30
Soruda görsel içerik var: Dik koordinat düzleminde y=f(x) fonksiyonunun grafiği görülmektedir. Grafik üç ayrı çeyrek çember yayından oluşmaktadır. İlk yay sol üstte azalan bir eğridir. İkinci yay üçüncü bölgeden başlayıp (0,1) noktasına ulaşan artan bir eğridir; başlangış noktası boş halka ile gösterilmiştir. Üçüncü yay ise y-ekseni üzerindeki (0, a+2) noktasından başlayıp dördüncü bölgedeki bir noktaya kadar inen azalan bir eğridir. y-ekseni üzerinde a+2 ve 1 değerleri, ayrıca kesikli çizgilerle gösterilen bir a^2 - 4a değeri bulunmaktadır. grafiğin sağ ucunda y=f(x) etiketi yer almaktadır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba arkadaşlar. Bugün fonksiyonlar ve süreklilik konusundan harika bir soru çözeceğiz. Soruda bize parçalı bir f fonksiyonunun grafiği verilmiş ve buna bağlı g fonksiyonunun sürekli olduğu söylenmiş. Hedefimiz a çarpı b değerini bulmak.
Soru Analizi
- $f(x)$ 3 özdeş çeyrek çemberden oluşuyor.
- $g(x)$ sürekli bir fonksiyon.
- Hedef: $a \cdot b = ?$
Öncelikle g fonksiyonunun tanımına bakalım. g fonksiyonu, f fonksiyonu ile aynı tanım kümesine sahip ve her yerde sürekli.
Süreklilik Şartı
$x=0$ noktasında limitler eşit olmalı:
$\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x)$
Grafik üzerinde kritik nokta x eşittir sıfıra odaklanalım. Sol taraftan ve sağ taraftan limit değerlerini bulup eşitleyeceğiz.
x sıfıra soldan yaklaşırken, yani x küçük eşittir sıfır iken, g(x) mutlak değer f(x)'e eşit. Grafikte x=0 noktasındaki değerimiz 1. Mutlak değeri yine 1 eder.
x sıfıra sağdan yaklaşırken, f(x) fonksiyonu a artı 2 değerinden başlıyor. g(x) ise f(x) eksi b olarak tanımlı. Yani sağ limit a artı 2 eksi b olur.
Süreklilik için bu iki değer birbirine eşit olmalı. Denklemi yazalım.
Bu denklemi düzenlersek, b'yi yalnız bırakalım. b eşittir a artı 1 buluruz.
Soruda bizden a çarpı b isteniyor. b yerine a artı 1 yazarsak, sonucun ardışık iki tam sayının çarpımı olması gerektiğini görürüz.
Şimdi şıklara bakalım ve hangi değerlerin ardışık iki sayının çarpımı olabileceğini kontrol edelim.
| Şık | Değer | Çarpanlar (a, a+1) |
|---|---|---|
| A | 24 | Yok |
| B | 36 | Yok |
| C | 20 | 4 x 5 (a=4) |
| D | 42 | 6 x 7 (a=6) |
| E | 30 | 5 x 6 (a=5) |
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
