Parçalı Fonksiyonda Süreklilik Problemi

PROBLEM

$a, b \in \mathbb{R}$ olmak üzere,

$$f(x) = \begin{cases} x^2+x+3 & , \ x < 1 \text{ ise} \\ x^3+b & , \ x = 1 \text{ ise} \\ 3x+a & , \ x > 1 \text{ ise} \end{cases}$$

fonksiyonu ........................... $a+b$ toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM

• $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2+x+3) = 1+1+3 = 5$

• $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (3x+a) = 3 \cdot 1+a = 3+a$

• $f(1) = 1^3+b = 1+b$

Final: $5 = 3+a = 1+b \Rightarrow a=2$ ve $b=4$

İstenen: $a+b = 2+4 = 6$

Buna göre, problemin boş bırakılan kısmı aşağıdakilerden hangisidir?

A) $x = 1$ noktasında sağdan limit değerine sahip olduğuna göre

B) $x = 1$ noktasında soldan limit değerine sahip olduğuna göre

C) $x = 1$ noktasında limitli olduğuna göre

D) $x = 1$ noktasında sürekli olduğuna göre

E) $x = 1$ noktasında türevlenebilir olduğuna göre

Soruda görsel içerik var: The image shows a textbook page with a 'PROBLEM' box and a 'ÇÖZÜM' (Solution) box. The problem defines a piecewise function f(x) with parameters 'a' and 'b' for three intervals: x < 1, x = 1, and x > 1. The solution box shows that the left-hand limit, right-hand limit, and the function's value at x=1 are all calculated and set equal to each other ($5 = 3+a = 1+b$). This leads to finding a=2 and b=4, and their sum a+b=6.