Parçalı Fonksiyon ve Süreklilik Sorusu
Yayınlanma:
20. Rabia Öğretmen, aşağıdaki renkli kağıtların üzerlerine $f(x)$ parçalı fonksiyonuna ait parçaları yazmıştır.
[x+6]
[x^2]
[x+2]
Daha sonra limit konusunu anlattığı bir öğrencisine;
"Aşağıda yazdığım $f(x)$ fonksiyonunda [ ] ile gösterdiğim yerlere bu yapışkan kağıtları öyle bir şekilde yapıştır ki $f(x)$ fonksiyonu yalnızca bir $x$ gerçel sayısı için süreksiz olsun" demişti.
$f(x) = \begin{cases} \text{I} & x \ge 2 \\ \text{II} & -2 \le x < 2 \\ \text{III} & x < -2 \end{cases}$
Buna göre, öğrenci bu yapışkan kağıtları I, II ve III ile gösterilen boş yerlere yukarıdan aşağıya doğru hangi sıralamayla yapıştırırsa Rabia Öğretmen'in dediğini yapmış olur?
A) [x+6], [x+2], [x^2]
B) [x+2], [x^2], [x+6]
C) [x^2], [x+2], [x+6]
D) [x+6], [x^2], [x+2]
E) [x^2], [x+6], [x+2]
Soruda görsel içerik var: İki ana kısımdan oluşur: üst kısımda üç farklı renkli kutu içinde $x+6$ (mavi), $x^2$ (sarı), $x+2$ (pembe) fonksiyonları verilmiştir. Alt kısımda ise $f(x)$ fonksiyon şablonu yer alır: $f(x) = [I]$ için $x \ge 2$, $[II]$ için $-2 \le x < 2$, $[III]$ için $x < -2$. Ayrıca A, B, C, D, E seçeneklerinde bu üç parçanın farklı dizilimlerini gösteren kutucuklar bulunmaktadır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba babanen, beraber bu süreklilik sorusunu çözelim. Soru bizden üç farklı fonksiyon parçasını doğru yerlere koyarak, yalnızca bir noktada süreksiz olan bir fonksiyon elde etmemizi istiyor.
Parçalı fonksiyona baktığımızda, kırılma yani kritik noktaların x eşittir iki ve x eşittir eksi iki olduğunu görüyoruz.
Kritik Noktalar
Kullanacağımız parçaların hepsi birer polinom olduğu için kendi içlerinde tamamen süreklidirler. Süreksizlik sadece bu sınır geçişlerinde yaşanabilir.
Sadece bir sayı için süreksiz olması istendiğine göre; fonksiyon bu sınır noktalarından birinde sürekli, diğerinde tamamen süreksiz olmalıdır.
Hangi parçaların hangi noktalarda birleşebileceğini görmek için önce her birinin sınır noktalarındaki limit değerlerini bulalım.
Sınır Noktalarındaki Değerler
x artı altı fonksiyonu ile başlayalım. İki için sekiz, eksi iki için dört değerini alır.
| Fonksiyon | x = 2 | x = -2 |
|---|---|---|
| x + 6 | 8 | 4 |
Şimdi x kare fonksiyonunu ekleyelim. İkinin karesi dört, eksi ikinin karesi yine dörttür.
Son olarak x artı iki fonksiyonu ise, iki için dört, eksi iki için sıfır limitine sahiptir.
Fonksiyonun örneğin iki noktasında sürekli olabilmesi için, parçaların o noktada aynı limitleri, yani aynı sayıları paylaşması gerekir.
Bu bilgiyi kullanarak seçenekleri incelediğimizde C seçeneğindeki dağılımın bizim aradığımız duruma uygun olabileceğini görüyoruz. Gelin bu şıkkı beraber test edelim.
C Seçeneği Testi
İlk olarak x eşittir iki noktasını kontrol edelim. Sağdan yaklaşırken kuralımız olan x kareden, ikinin karesi yani dördü elde ederiz.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
