Parçalı Fonksiyon Türev ve Süreklilik

Selam Beyza, seninle birlikte bu parçalı fonksiyon sorusuna yakından bakalım. Soruda fonksiyonun iki ve üç noktalarındaki süreklilik ve türevlenebilirlik durumları verilmiş, bizden c değerini bulmamız isteniyor.

İlk olarak, fonksiyonun ikide türevli olması bilgisini kullanalım. Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için o noktada hem sürekli olması hem de sağ ve sol türevlerinin eşit olması gerekir.

Önce süreklilik şartına bakalım. İkiye soldan ve sağdan giderken limit değerleri eşit olmalı.

x küçük iki için ay kare eksi iki x, x büyük veya eşit iki için ise x küp eksi be x ifadelerini kullanıyoruz. x gördüğümüz yere iki yazalım.

İşlemleri yaparsak, dört a eksi dört eşittir sekiz eksi iki be sonucuna ulaşırız.

Eksi iki be'yi sola, eksi dördü sağa atarak denklemi düzenleyelim. Buradan dört a artı iki be eşittir on iki elde ederiz. Her tarafı ikiye bölersek, iki a artı be eşittir altı olur. Bu bizim birinci denklemimiz.

Şimdi aynı noktada türev şartına bakalım. Sol türev sağ türeve eşit olmalı. Fonksiyonların türevlerini alıp x yerine iki yazacağız.

ay kare eksi iki x türevi iki ay eksi ikidir. x küp eksi be x türevi ise üç x kare eksi be olur. Şimdi buralarda x yerine iki koyalım.

Buradan dört a eksi iki eşittir on iki eksi be sonucuna varırız.

Değişkenleri bir tarafa toplarsak dört a artı be eşittir on dört buluruz. Bu da ikinci denklemimiz olsun.