Parabolsel Bölge Alanı Hesabı

Merhaba Fuat, bu güzel katlama ve parabol alan problemini adım adım inceleyerek çözelim. Soruda Şekil 1'deki kağıdın açıldığında bir kare oluşturduğu söyleniyor.

Şekil 1'e baktığımızda N ile K arasında iki birimlik bir mesafe olduğunu açıkça görebiliyoruz. Sağdaki bölüm, şekilde kesik çizgi ile belirtilen sınır üzerine sola doğru katlanmış.

Katlanan mavi parçanın genişliği yatayda N'den K'ya 2 birim. Bu da kağıdın orijinalinde K noktasının sağında kalan parçanın yatayda 2 birim olduğunu gösterir. Yani K'dan sağ köşeye olan mesafe 2 birimdir.

Sol tarafta 4 birim, sağa doğru ise 2 birim daha uzadığında karenin bir yatay kenarı 6 birime ulaşır. Yani açılmış halimiz altıya altılık bir karedir.

Şekil 2'deki karesel bölgeyi bir koordinat sistemine yerleştirelim ve D noktasını orijin kabul edelim.

Parabolün tepe noktası K'dır. K'nın x apsisi karenin üstündeki konumundan 4, y ordinatı ise 6'dır. Parabol denklemini tepe noktası formatında yazabiliriz.

Parabol D noktasından, yani orijinden geçmektedir. x'e ve y'ye sıfır yazarsak kalıbımızı çözeriz.

Bu denklemi çözdüğümüzde, 16a eksi altıya, a ise eksi üç bölü sekize eşit çıkar.

Yani parabolümüzün net fonksiyonu eksi üç bölü sekiz x eksi dördün karesi artı altıdır.

Şekil 2'deki tüm kırmızı bölgenin alanı olan A iki'yi parabolün altında kalan ifadeyi integre ederek bulalım. Bölge, sıfırdan altıya kadar uzanıyor.

İntegrali alırsak, x eksi dördün küpü üzerinden fonksiyonumuz bu hale gelir.