Parabol ve Teğet İlişkisi

Merhaba Nazire, bu harika analitik geometri ve türev sorusunu birlikte inceleyelim. Parabol üzerindeki bir teğet doğrusu için O B uzunluğunun B D uzunluğuna her zaman eşit olup olmadığını genel bir durum için ispatlayalım.

Parabolümüz ye eşittir x kare olarak verilmiş. Bu eğri üzerindeki herhangi bir teğet noktasını apsisi a olacak şekilde seçelim. Yani noktamız A noktası olsun ve koordinatları a virgül a kare şeklindedir.

A noktasından çizilen kırmızı teğet doğrusunun eğimini bulmak için fonksiyonun türevini alalım. Fonksiyonumuzun türevi iki x değerine eşittir.

Teğet noktamızın apsisi a olduğuna göre, bu noktadaki teğetin eğimi olan m değeri, fonksiyonun a noktasındaki türevidir. Yani eğimimiz iki a olur.

Şimdi eğimi iki a olan ve A noktasından geçen teğet doğrusunun denklemini yazalım. Doğru denklemi formülünden, ye eksi a kare eşittir iki a çarpı parantez içinde x eksi a elde edilir.

Bu denklemi düzenleyelim. İki a'yı parantez içine dağıttığımızda iki a x eksi iki a kare olur. Sol taraftaki eksi a kareyi sağ tarafa artı olarak atarsak, doğrunun denklemini ye eşittir iki a x eksi a kare şeklinde buluruz.

Şimdi B noktasını bulalım. B noktası, bu teğet doğrusunun x eksenini kestiği yerdir. Dolayısıyla ye yerine sıfır yazarak x değerini bulabiliriz.