P(x) Polinomunun Teğet Özelliklerini Kullanarak Q(x) Türevi Bulma

Merhaba Zeynep, bugün seninle türev ve polinom ilişkisini inceleyen harika bir AYT sorusu çözeceğiz.

Sorumuzda üçüncü dereceden bir P x polinomunun bazı teğet bilgileri verilmiş. Öncelikle bu bilgileri matematiksel olarak nasıl ifade edeceğimize bakalım.

İlk olarak, P x polinomunun grafiği y eşittir bir doğrusuna sıfıra bir noktasında teğettir denmiş. Bu, iki anlama gelir.

Birincisi, polinom bu noktadan geçer, yani P sıfır değeri bire eşittir. İkincisi, bu noktadaki teğetin eğimi, y eşittir bir doğrusunun eğimi olan sıfıra eşittir, yani P'nin türevi sıfırda sıfırdır.

Şimdi ikinci teğet bilgisini yazalım. Polinom, y eşittir on iki x eksi on dokuz doğrusuna ikiye beş noktasında teğetmiş.

Yine benzer şekilde, polinom ikiye beş noktasından geçtiği için P iki beşe eşittir. Bu noktadaki teğet eğimi ise doğrunun eğimi olan on ikiye eşittir, yani P'nin türevi ikide on ikidir.

Harika, şimdi elde ettiğimiz bu dört veriyi kullanarak polinomumuzu bulalım. Yeni bir sayfada polinomun genel denklemini yazarak başlayalım.

Bu fonksiyonun türevini alırsak, P'nin türevi üç a x kare artı iki b x artı c olur.

İlk elde ettiğimiz veri P sıfırın bir olduğuydu. Polinomda x yerine sıfır yazdığımızda d katsayısının bir olduğunu buluruz.

İkinci verimiz olan P'nin türevi sıfırda sıfır bilgisini kullanalım. Türev fonksiyonunda x yerine sıfır yazdığımızda c değerinin sıfır olduğunu görürüz.

Böylece polinomumuz ve onun türevi çok daha basit bir hal aldı. Onları yeniden yazalım.