Parabol ve Eşitsizlik Analizi

Bugün bu zorlayıcı parabol ve eşitsizlik sorusunu birlikte çözeceğiz. Bize $f(x)$ için verilen iki önemli koşul ve üç tane öncül var. Adım adım ilerleyelim.

İlk koşulla başlayalım. f(x) artı mutlak değer x küçük eşit sıfır demek, f(x)'in eksi mutlak değer x grafiğinin altında kalması demektir.

Grafiğe bakın. Kırmızı çizgiler y eşittir eksi mutlak x. Parabolümüz tamamen bunun altında veya üzerinde olmalı. Bu da kollarının aşağı doğru olması gerektiğini gösterir. Yani a küçüktür sıfır.

Aynı zamanda, parabol x eşittir sıfır noktasında tepe noktasına değemez, çünkü türevlenebilirlik hatası oluşur. f(x) daima negatif olmalıdır. Bu yüzden x eksenini asla kesemez. Hatta c değeri de sıfırdan kesinlikle küçüktür.

Birinci öncül ne diyordu? 'f(x) x eksenini 2 farklı noktada keser'. Ama biz f(x)'in x eksenine hiç değmediğini bulduk. Demek ki birinci öncül YANLIŞ.

Şimdi ikinci ve karmaşık olan koşula bakalım. Bu kesirli ifadenin çözüm kümesi BOŞ KÜME imiş. İfadeyi çarpanlarına ayıralım.

İşaretleri inceleyelim. Mutlak x pozitiftir, a negatiftir. Yani (|x| - a) aslında pozitiftir. f(x) ise daima negatiftir.

Pozitif terimi atıp, negatif f(x)'e bölerek eşitsizliğin yönünü değiştirebiliriz. Elimizde şu kalır:

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi boş ise, ifade HİÇBİR ZAMAN sıfırdan küçük veya eşit olamaz. Yani kökleri birbirini yok etmelidir. Payın kökü x=1, paydanın kökü x=c/a.

Eğer bu kökler farklı olsaydı, aralarında illaki işaret değişimi olur ve negatif bölge oluşurdu. Çözüm kümesinin boş olması için köklerin çakışması, yani eşit olması gerekir.