P(x) Polinom Fonksiyon Grafiği Analizi
Yayınlanma:
Yukarıda bir kısmı sarı renkli bir kâğıt ile kapatılmış $P(x)$ polinom fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
• $P(x)$ polinomunun derecesi 4'tür.
• $P(x)$ polinomunun bir çarpanı $(x^2-4)$'tür.
• $P(x)$ polinomunun sabit terimi 1'dir.
Buna göre, $P(x)$ polinom fonksiyonunun grafiğinin kâğıt ile kapatılan kısmı
I.
[Grafik I]
II.
[Grafik II]
III.
[Grafik III]
grafiklerinden hangileri olabilir?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) I ve II E) II ve III
Soruda görsel içerik var: Üst kısımda koordinat düzleminde $P(x)$ fonksiyonunun grafiğinin bir kısmı görülmekte, orta bölge sarı bir dikdörtgen ile kapatılmıştır. Grafiğin x-eksenini 4 noktasında kestiği görülmektedir. Alt kısımda ise I, II ve III numaralı grafik seçenekleri verilmiştir. Bu grafiklerde x-ekseni üzerinde -4'ten 3'e kadar, y-ekseni üzerinde ise 1 ve 2 gibi işaretli değerler bulunmaktadır. Her grafik, sarı bölgenin içindeki fonksiyonun muhtemel davranışını temsil eden kırmızı eğrilerden oluşmaktadır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Havvanur, bu güzel polinom grafik sorusunu seninle adım adım inceleyelim ve birlikte çözelim.
P(x) Polinomunun Özellikleri
Verilen bilgilere göre:
- Derecesi: $4$
- Bir çarpanı: $x^2 - 4$
- Sabit terimi: $P(0) = 1$
- Grafikten görünen bir kökü: $x = 4$
Derecesi dört olan bu polinomun bir çarpanı x kare eksi dört olduğuna göre, iki ve eksi iki bu polinomun kökleridir. Grafikten de x eşittir dört noktasında ekseni kestiğini görüyoruz. O halde üçüncü bir kökümüz de dörttür.
Bu kökleri kullanarak, dördüncü köke r diyelim ve P x polinomunu genel bir formda yazalım. Baş katsayımız a olsun.
Şimdi de polinomun sabit teriminin bir olduğunu kullanalım. Yani x yerine sıfır yazdığımızda sonucun bir olması gerekir.
x yerine sıfır yazarak denklemimizi düzenleyelim.
Çarpma işlemini yaparsak, eksi dört ile eksi dördün çarpımı artı on altı yapar. Bunu da eksi r ile çarptığımızda eksi on altı a r elde ederiz.
Buradan a çarpı r değerini yalnız bırakırsak, eksi bir bölü on altı olarak buluruz.
Şimdi grafiğin uç kısımlarına bakarak baş katsayı olan a'nın işaretini belirleyelim.
Baş Katsayı ve r Değerinin Analizi
Grafikte x sonsuza giderken ve eksi sonsuza giderken, fonksiyonun değerlerinin yukarıya, yani artı sonsuza doğru gittiğini görüyoruz. Derecesi çift olan bu fonksiyonun kollarının yukarı doğru olması, baş katsayı a'nın sıfırdan büyük, yani pozitif olduğunu gösterir.
Grafiğin kolları yukarı doğru olduğundan:
$$\lim_{x \to \pm\infty} P(x) = \infty \implies a > 0$$
a pozitif olduğuna göre ve a ile r'nin çarpımı negatif olduğuna göre, dördüncü kökümüz olan r değerinin kesinlikle negatif olması gerekir.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
