Noktanın Doğruya Göre Simetriği

Merhaba Çağan, bu analitik geometri sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Bir noktanın bir doğruya göre simetriğini aldığımızda iki temel geometrik kural geçerlidir. İlk olarak, A ve B noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası bu doğrunun üzerinde olmalıdır.

İkinci olarak, A ve B noktalarından geçen doğru, simetri doğrusu olan ye eşittir em iks doğrusuna diktir. Şimdi bu özellikleri görselleştirelim.

Şimdi çizdiğimiz bu analitik düzlem modelinde durumu inceleyelim. Gördüğünüz gibi, A ve B noktalarını birleştiren segment, y eşittir em iks doğrusunu dik kesiyor ve orta nokta bu doğrunun tam üzerinde yer alıyor.

İlk koşulumuz olan orta noktayı bulmakla başlayalım. İki noktanın orta noktasının koordinatlarını, apsisler ve koordinatlar toplamının yarısı ile buluruz.

A noktasının apsisi dokuz, B noktasının apsisi ise eksi yedidir. Bu değerleri formülde yerine yazalım.

Dokuz ile eksi yediyi topladığımızda iki elde ederiz. İki bölü iki ise bire eşittir.

Böylece orta noktamızın koordinatları bir virgül, ka eksi iki bölü iki olur.

Bu M noktası simetri doğrusu üzerinde yer aldığı için, doğrunun denklemini sağlamak zorundadır. Yani ye yerine ka eksi iki bölü iki, iks yerine de bir yazacağız.

Koordinatları yerine koyalım ve em değerini yalnız bırakalım.

Bu eşitlikten em değerini ka eksi iki bölü iki olarak bulmuş oluruz.

İçler dışlar çarpımı yaparak ka değerini em cinsinden yazalım. Ka eksi iki, iki em olur.

Eksi ikiyi karşı tarafa artı iki olarak attığımızda, ka eşittir iki em artı iki denklemini elde ederiz. Bu bizim ilk önemli denklemimizdir.

Şimdi ikinci koşulumuza geçelim. AB doğrusu ile y eşittir em iks doğrusu birbirine diktir.

Yani AB doğrusunun eğimi ile em değerinin çarpımı eksi bir olmalıdır.

Öncelikle AB doğrusunun eğimini bulalım. Eğim, koordinatlar farkının apsisler farkına oranıdır.

Noktalarımızın koordinatlarını formülde yerleştirelim: ka eksi eksi iki bölü eksi yedi eksi dokuz.

Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde, eğim ka artı iki bölü eksi on altı olarak bulunur.

Bulduğumuz bu eğimi diklik şartında yerine yazalım.