n Değerini Bulma Sorusu

MathematicsFactorialsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

5. n bir doğal sayı olmak üzere $$ rac{1! ext{·} 2! ext{·} 3! ext{·} ext{...} ext{·} 12!}{n!} $$ işleminin sonucunun bir tam kare sayıya eşit olduğu bilinmektedir. Buna göre n kaçtır? A) 1 B) 2 C) 6 D) 8 E) 12

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba arkadaşlar. Bu videoda, AYT matematik sınavında karşımıza çıkabilecek oldukça şık bir faktöriyel sorusunu birlikte çözeceğiz.

AYT Matematik - Faktöriyel Sorusu

2
Adım 2

Sorumuzda, n bir doğal sayı olmak üzere birden on ikiye kadar olan faktöriyellerin çarpımının n faktöriyele bölümünün bir tam kare olduğu söylenmiş. Bizden de n değerini bulmamız isteniyor.

$$\frac{1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot \ldots \cdot 12!}{n!} = k^2 \quad (k \in \mathbb{Z}^+)$$
3
Adım 3

İşlemimizi kolaylaştırmak için öncelikle pay kısmında bulunan çarpımı ele alalım. Bu büyük çarpımı P harfi ile adlandırıp daha yakından inceleyelim.

Pay Kısmının İncelenmesi

$$P = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdot 6! \cdot 7! \cdot 8! \cdot 9! \cdot 10! \cdot 11! \cdot 12!$$
4
Adım 4

Bu çarpımı daha kolay analiz etmek için ardışık faktöriyel çiftlerini ikili gruplar halinde yazalım.

$$P = (1! \cdot 2!) \cdot (3! \cdot 4!) \cdot (5! \cdot 6!) \cdot (7! \cdot 8!) \cdot (9! \cdot 10!) \cdot (11! \cdot 12!)$$
5
Adım 5

Şimdi her bir ikili grubu, içlerindeki büyük faktöriyeli açarak düzenleyelim. İlk olarak bir faktöriyel çarpı iki faktöriyel ifadesine bakalım.

İkili Grupları Düzenleme

$$1! \cdot 2! = 1! \cdot (2 \ncdot 1!)$$
6
Adım 6

Buradan, bir faktöriyellerin karesi çarpı iki elde ederiz.

7
Adım 7

Aynı mantığı üç faktöriyel çarpı dört faktöriyel için de uygulayalım. Dört faktöriyeli dört çarpı üç faktöriyel olarak açalım.

$$3! \cdot 4! = 3! \cdot (4 \cdot 3!)$$
8
Adım 8

Buradan da, üç faktöriyelin karesi çarpı dört elde ederiz.

9
Adım 9

Benzer şekilde tüm çiftleri tek tek yazarsak, her grupta bir tam kare terim ve bir çarpan oluştuğunu göreceğiz. Hepsini alt alta listeleyelim.

Tüm Grupların Listesi

$$1! \cdot 2! = 2 \cdot (1!)^2$$
$$3! \cdot 4! = 4 \cdot (3!)^2$$
$$5! \cdot 6! = 6 \cdot (5!)^2$$
$$7! \cdot 8! = 8 \cdot (7!)^2$$
$$9! \cdot 10! = 10 \cdot (9!)^2$$
$$11! \cdot 12! = 12 \cdot (11!)^2$$
10
Adım 10

Şimdi tüm bu grupları çarparak orijinal P ifademizi yeniden oluşturalım.

P İfadesinin Yeni Hali

$$P = [2 \cdot (1!)^2] \cdot [4 \cdot (3!)^2] \cdot [6 \ncdot (5!)^2] \cdot [8 \cdot (7!)^2] \cdot [10 \cdot (9!)^2] \cdot [12 \cdot (11!)^2]$$
11
Adım 11

Bu çarpımda, tam kare olan faktöriyel kısımlarını bir araya toplayalım ve kalan sayıları da ayrı bir çarpım olarak yazalım.

Çözümün devamı Solvi’de

10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Factorials
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

n bir doğal sayı olmak üzere faktöriyel sorusu Factorials · Orta a! + b! + c! = 49 Toplamını Bulma Factorials · Orta Faktöriyel Hesaplama Sorusu Factorials · Orta a ve b doğal sayı olmak üzere faktöriyel sorusu Factorials · Orta Faktöriyel İfadesi Çözümü Factorials · Orta Faktöriyel İşlemleri Factorials · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir