a! + b! + c! = 49 Toplamını Bulma

Merhaba! Bu videoda faktöriyel içeren harika bir temel matematik sorusunu birlikte çözeceğiz. Soruda a, b ve c'nin pozitif tam sayılar olduğu belirtilmiş ve faktöriyellerinin toplamının kırk dokuz olduğu verilmiş. Bizden de bu sayıların toplamı isteniyor.

Öncelikle a, b ve c sayılarının pozitif tam sayılar olduğunu, yani bir, iki, üç, dört gibi değerler alabileceğini aklımızda tutalım.

Çözüme başlamak için küçük sayıların faktöriyel değerlerini bir hatırlayalım. Bir faktöriyel bir, iki faktöriyel iki, üç faktöriyel altı, dört faktöriyel yirmi dört ve beş faktöriyel yüz yirmidir.

Gördüğünüz gibi, beş faktöriyel yüz yirmi değerindedir. Toplamımız kırk dokuz olduğuna göre, a, b veya c sayılarından hiçbiri beş veya daha büyük olamaz. Dolayısıyla bu sayılar ancak bir, iki, üç veya dört değerlerini alabilir.

Şimdi bu değerleri kullanarak kırk dokuz toplamını nasıl elde edebileceğimizi düşünelim. Eğer bu sayıların hepsi en fazla üç olsaydı ne olurdu?

Eğer tüm sayılar üç veya daha küçük olsaydı, alabileceğimiz en büyük toplam üç tane üç faktöriyelin toplamı, yani altı artı altı artı altıdan on sekiz olurdu. Bu değer kırk dokuzdan çok küçüktür.

Demek ki, bu sayılardan en az bir tanesi mutlaka dört olmalıdır. Kolaylık olsun diye, a sayısının dört olduğunu varsayalım.

a sayısını dört olarak seçtiğimizde, dört faktöriyel yirmi dörttür. Şimdi bunu ana denklemimizde yerine yazalım.

Dört faktöriyel yerine yirmi dört yazalım.

Eşitliğin her iki tarafından yirmi dört çıkarırsak, b faktöriyel ile c faktöriyelin toplamını yirmi beş olarak buluruz.