Mutlak Değerli İfadenin En Küçük Değeri

Selam Sıla, gel bu mutlak değer sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Sorumuzda m pozitif bir tam sayı olarak verilmiş. İfademiz ise dört tane mutlak değerli terimin toplamı şeklinde kurgulanmış.

Bir mutlak değer toplamının en küçük değerini bulmak için genellikle kritik noktaları, yani içini sıfır yapan x değerlerini deneriz.

Terim sayısı çift olduğunda, en küçük değer genellikle ortadaki iki kritik nokta arasındaki tüm değerler için sabit çıkacaktır.

Kritik noktaları küçükten büyüğe sıralayalım. m pozitif bir tam sayı olduğu için x eşittir bir, iki ve üç en küçük değerlerdir.

Burada ortadaki iki değerimiz x eşittir iki ve x eşittir üçtür. İfadenin en küçük değerini bulmak için örneğin x yerine iki yazalım.

x eşittir iki için toplamı hesaplayalım. İkinci terim sıfır olacaktır.

Mutlak değer içindeki işlemleri yapalım. Birin mutlak değeri bir, eksi birin mutlak değeri birdir.

Burası bir artı bir artı mutlak değer içinde üç eksi iki m eşittir yetmiş iki halini alır.

İkiyi karşı tarafa atarsak, mutlak değer üç eksi iki m eşittir yetmiş olur.

m pozitif bir tam sayı olduğu için, üç eksi iki m ifadesi kesinlikle negatiftir. Bu yüzden dışarı eksi ile çarpılarak çıkar.

Eksi üçü sağ tarafa artı üç olarak geçirelim.

Ancak burada m bir tam sayı çıkmıyor. Bu da demek oluyor ki kritik noktalarımızın sırası farklı olabilir.

m pozitif tam sayı olduğu için iki m eksi bir ifadesi birden büyük veya eşittir. Sıralamayı tekrar düşünelim.

Fonksiyonun en küçük değeri, ortadaki iki kritik nokta arasındaki x değerleri için oluşur.

Eğer iki m eksi bir en büyükse, ortadaki noktalar iki ve üçtür. Bunu demin denedik ve tam sayı gelmedi.

O halde iki m eksi bir ortalarda bir yerdedir. Sıralamayı bir, iki m eksi bir, iki ve üç şeklinde düşünelim.

Bu durumda ortadaki noktalar iki m eksi bir ve ikidir. x yerine iki m eksi bir yazalım.

İşlemleri düzenleyelim: iki m eksi iki, iki m eksi üç ve iki m eksi dört mutlak değerleri toplamı yetmiş iki olmalı.

Bu da biraz karmaşık duruyor. Diğer bir ihtimal ise iki m eksi birin en küçük olmasıdır. Bir, iki, üç, iki m eksi bir sıralamasını tam tersi düşünelim.

Bu durumda ortadaki noktalar bir ve ikidir. x yerine bir yazarsak sonuç ne olur?

Buradan bir artı iki artı mutlak değer içinde iki eksi iki m eşittir yetmiş iki gelir.

Üçü karşıya atalım. Mutlak değer içinde iki eksi iki m eşittir altmış dokuz olur. Yine tam sayı gelmiyor.

Tekrar kontrol edelim. En küçük değer her zaman en dıştaki çiftler ile en içteki çiftlerin farkıyla ilişkilidir.

Eğer sıralama bir, iki, üç, iki m eksi bir ise:

İki m artı iki, eksi üç eşittir yetmiş iki. Buradan iki m eksi bir eşittir yetmiş iki olur. Yine olmadı.

O halde sıralama bir, iki m eksi bir, iki, üç şeklinde olmalı.