Mutlak Değerli Fonksiyonun Türevi

Merhaba Fatma, karşına çıkabilecek güzel bir türev ve mutlak değer sorusunu birlikte adım adım inceleyelim.

Bize f fonksiyonu, mutlak değer içinde x kare eksi altı x artı k olarak verilmiş.

Mutlak değerin içinin işaret değiştirdiği noktalarda, fonksiyon x eksenini kırarak kestiği için grafikte köşe oluşur. Bildiğimiz üzere bu noktalarda türev yoktur.

Sorudaki önemli detaya dikkat edelim: f fonksiyonunun türevsiz olduğu noktalardan biri x eşittir iki apsisli noktaymış.

Demek ki bu nokta, içerideki polinomun köklerinden biridir ve tam bu noktada içerisi sıfır olmalıdır.

Hemen denklemde x yerine iki yazalım. İkinin karesi, eksi altı çarpı iki artı k eşittir sıfır.

İkinin karesi dört, altı çarpı iki on iki yapar. Dört eksi on iki artı k sıfıra eşittir.

Burası eksi sekiz oluyor. Eksi sekiz artı k eşittir sıfır çıkar.

Böylece k değerini kolaylıkla sekiz olarak buluruz.

Bulduğumuz k değerini fonksiyonda yerine yazalım. Yeni hali mutlak değer içinde x kare eksi altı x artı sekiz oldu.

Durumu teyit etmek için x kare eksi altı x artı sekizi sıfıra eşitlersek, köklerinin iki ve dört olduğunu görürüz.

İkisi de tek katlı köktür. Grafik bu noktalarda kırıldığı için türevsizdir, yani yürüttüğümüz mantık kesinlikle doğru.

Şimdi sorunun asıl bölümüne gelebiliriz. Bizden f'in türevinde k değeri isteniyor.