Minimum Maliyetli Yol Yapımı Problemi

Merhaba! Bu soruda mevcut bir yolu kullanmak ile yeni bir kestirme yol açmak arasındaki maliyet optimizasyonunu türev kullanarak inceleyeceğiz.

Öncelikle soruda anlatılan durumu bir krokiyle canlandıralım. A, B ve C köylerini ve aralarındaki mesafeleri çiziyoruz.

Maliyetleri de bir tablo halinde köşeye ekleyelim. Mevcut stabilize yolu asfaltlamanın kilometresi 30 bin Lira, tamamen yeni yol açıp asfaltlamanın kilometresi ise 50 bin Lira tutuyor.

Amacımız A'dan C'ye giden asfalt bir bağlantı kurmak. Klasik bir yaklaşım olarak, mevcut yol üzerinde bir P noktasına kadar gelip oradan C'ye kestirme yeni bir yol açacağımızı farz edelim.

P'nin B'ye olan uzaklığına x diyelim. Bu durumda A ile P arası kırk eksi x olur. P'den C'ye uzanan yeni yolun dik üçgenin hipotenüsü olacağına dikkat edin.

Şimdi maliyeti hesaplayacağımız f x fonksiyonunu yazalım. İşlemler kalabalık olmasın diye Liradaki on bin çarpanlarını şimdilik atarak sade sayılarla çalışalım.

Fonksiyonun minimum değerini bulmak için türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz.

İkileri sadeleştirip eksi üçü karşı tarafa atarsak işlem kolaylaşacaktır.

İçler dışlar çarpımı yaparak köklü ifadeyi yalnız bırakalım.

Her iki tarafın da karesini aldığımızda kök işaretinden kurtuluruz.

Yirmi beş x kare eşittir, dokuz parantezinde x kare artı dört yüz şekline döner.

Dokuzu içeri dağıttığımızda yirmi beş x kare eşittir dokuz x kare artı üç bin altı yüz elde ederiz.