Maksimum Alanlı Dikdörtgenin Çevresi
Yayınlanma:
23. İki köşesi $y=3$ doğrusu üzerinde, bir köşesi $y=\sqrt{x}$ eğrisi üzerinde, diğer bir köşesi de $y=\sqrt{-x}$ eğrisi üzerinde olan dikdörtgenlerden alanı en çok olanın çevre uzunluğu kaç birimdir?
A) 10 B) 14 C) 18 D) 22 E) 26
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde, $y=\sqrt{x}$ (1. bölgede sağa açılan parabol kolu) ve $y=\sqrt{-x}$ (2. bölgede sola açılan parabol kolu) eğrileri ile üstte $y=3$ yatay doğrusu çizilmiştir. Bu eğriler ve doğru arasında kalan dikdörtgenin köşeleri belirtilmiştir. Dikdörtgenin üst iki köşesi $y=3$ doğrusu üzerindeyken, alt iki köşesi sırasıyla $y=\sqrt{x}$ ve $y=\sqrt{-x}$ eğrileri üzerindedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ceylan, bu güzel türev ve en büyük değer sorusunu birlikte adım adım çözelim. Soruda bizden iki köşesi ye eşittir üç doğrusu üzerinde, diğer köşeleri ise karekök iks ve karekök eksi iks eğrileri üzerinde olan bir dikdörtgenin alanını maksimum yapmamız isteniyor. Sonrasında ise bu dikdörtgenin çevre uzunluğunu bulacağız.
Problem Analizi
Öncelikle durumu koordinat düzleminde görselleştirelim. Koordinat sistemimizi çizelim, ye eşittir üç doğrusunu, karekök iks ve karekök eksi iks eğrilerini ekleyelim.
Grafik Çizimi
Şimdi, bu eğriler ve doğru arasında yer alan dikdörtgenimizi çizelim. Karekök iks eğrisi üzerindeki bir noktanın birinci bileşenine te diyelim. Bu durumda alt sağ köşenin koordinatları te virgül karekök te olur.
Simetrik olarak, sol alt köşe ise eksi te virgül karekök te noktasında olacaktır. Dikdörtgenin üst köşeleri ise doğrudan ye eşittir üç doğrusu üzerinde bulunduğundan, koordinatları te virgül üç ve eksi te virgül üç olur.
Harika! Şimdi bu dikdörtgenin kenar uzunluklarını adım adım elde edelim. Dikdörtgenin tabanı eksi te ile te arasındadır.
Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi
Dikdörtgenin taban kenarının uzunluğu olan $a$ değerini bulalım:
Aradaki mesafe olan te eksi eksi te işlemi bize iki te olarak taban uzunluğunu verir.
Yükseklik kenarını ise, üst sınır olan üç ile alt sınır dikey seviyesi olan karekök te arasındaki fark belirler.
Dikdörtgenin yükseklik kenarı olan $b$ değerini bulalım:
Buradan yüksekliğimiz, üç eksi karekök te olarak bulunur.
Artık dikdörtgenin alanını te türünden bir fonksiyon olarak oluşturabiliriz. Alan, taban ve yüksekliğin çarpımıdır.
Alan Fonksiyonunun Oluşturulması
Alan fonksiyonunu $A(t)$ olarak tanımlayalım:
Türevi daha kolay alabilmek için bu ifadeyi dağıtalım. İki te çarpı üç, altı te yapar. İki te çarpı eksi karekök te ise, iki çarpı te üzeri üç bölü ikiye eşittir.
Bu fonksiyonun en büyük değerini bulmak için türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz. Önce genel türev ifadesini gösterelim.
Maksimum Alan için Türev
Alan fonksiyonunun türevi $A'(t)$ ifadesini yazalım:
Altı te'nin türevi altıdır. İki te üzeri üç bölü ikinin türevi ise, üs başa çarpım geleceğinden, iki çarpı üç bölü iki, yani üç çarpı te üzeri bir bölü iki olur.
Çözümün devamı Solvi’de
12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
