Minimum Maliyetli Yol Yapımı

Merhaba! Bu soruda mevcut ve yeni yolların birim fiyatlarını dikkate alarak bir asfaltlama kurgusu için minimum maliyet hesabı yapacağız. Önce durumu bir kroki üzerinde görselleştirelim.

B köyü, A köyünün 40 kilometre doğusunda; C köyü de B'nin 20 kilometre kuzeyindeymiş.

A ile B ve B ile C arasında zaten stabilize bir yol var. Bu yolu kullanıp asfaltlamak istersek kilometresi 30 bin lira tutuyor.

Ancak arazinin içinden bir kestirme olacak şekilde sıfırdan yeni bir yol açıp onu asfaltlamak istersek, bunun kilometre maliyeti 50 bin lira oluyor.

Amacımız A'dan C'ye giden asfalt bir rotayı en ucuza mal etmek. A'dan belirli bir yola kadar mevcut yolu kullanıp, D gibi bir noktadan C'ye yönelerek kestirme bir yol açmak mantıklı olabilir.

B ile D arasına x dersek, A'dan D'ye kadar olan mesafe kırk eksi x olur. Yeni açacağımız yol olan DC'nin uzunluğunu da bir dik üçgen olan DBC üçgeninden hipotenüs olarak belirleyebiliriz.

Birimi bin lira kabul ederek maliyet fonksiyonu ev x'i yazalım. Mevcut yoldan gittiğimiz bölüm için birim olarak 30 çarpı kirk eksi x; yeni yol bölümü için ise 50 çarpı karekök içinde x kare artı 400 yazarız.

Bu fonksiyonun yerel de ne zaman minimum olduğunu bulmak için hemen türevini alıp sıfıra eşitliyoruz.

Pay ve paydadaki ikileri sadeleştirip eksi otuzu eşitliğin karşısına pozitif olarak geçirelim.

İçler dışlar çarpımı yapıp sıfırları da attığımızda denklem oldukça pratikleşiyor.

Şimdi bu eşitliği çözelim. Kareköklü ifadeden kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının da karesini alıyoruz.

Yirmi beş x kare eşittir, dokuz çarpı parantez içinde x kare artı dört yüz.