M, N ve K sayıları ile asal bölenler sorusu

Selam Nursena, gel bu güzel asal çarpan sorusuna birlikte bakalım. M, N ve K birer doğal sayıymış. Bir sayının asal bölenlerinin toplamını bulmak için önce onun hangi asal çarpanlara sahip olduğunu incelemeliyiz.

Bir sayının asal çarpanlarının toplamını gösteren bir fonksiyon tanımlayalım. Buna A M diyelim.

Soruda verilen ilk bilgiye göre, M'nin asal bölenleri toplamı, M çarpı N'nin asal bölenleri toplamından on eksikmiş.

Buradan şunu anlıyoruz: N sayısında öyle asal çarpanlar var ki, bunlar M sayısında bulunmuyor ve bu asal çarpanların toplamı tam olarak on ediyor.

Toplamları on olan asal sayıları düşünelim. Bunlar iki, üç ve beş olabilir ya da sadece üç ve yedi olabilir.

Şimdi ikinci bilgiye bakalım. M'nin asal bölenleri toplamı, N çarpı K'nın asal bölenleri toplamından on yedi eksikmiş.

Dikkat edersek, elimizde A M çarpı N ile A M arasındaki farkın on olduğu bilgisi var. A N çarpı K ise A M'den on yedi fazla.

İşlemi daha iyi görebilmek için A N çarpı K'yı şöyle yazabiliriz: A M artı on artı yedi.

Hatırlarsan, A M artı on ifadesi A M çarpı N'ye eşitti. Yerine koyalım.

Bu denklem bize şunu söyler: N çarpı K'nın içindeki asalların toplamı, M çarpı N içindeki asallardan yedi fazladır. Yani K'da olup M çarpı N'de olmayan asalların toplamı yedidir.

Toplamı yedi olan asallar ya sadece yedi sayısıdır ya da iki ile beşin toplamıdır. En küçük değeri aradığımız için ihtimalleri değerlendirelim.