Logaritmik Kümeler ve Denklem Sistemleri

Merhaba arkadaşlar. Bu videomuzda, logaritma ve küme kavramlarını bir araya getiren çok şık bir sınav sorusunu adım adım çözeceğiz.

Öncelikle A kümesini ele alalım. Kümenin elemanları logaritma iki tabanında yazılmış. Bu elemanlara kolaylık olması açısından x bir, x iki, x üç ve x dört diyelim.

B kümesinin tabanı ise bir bölü iki, yani iki üzeri eksi birdir. Logaritma kuralı gereği, tabandaki bu eksi bir kuvveti başa eksi çarpanı olarak gelir.

Bu durumda B kümesinin elemanları, A kümesinin elemanlarının eksiyle çarpılmış halidir. Yani B kümesini eksi x bir, eksi x iki, eksi x üç ve eksi x dört olarak yazabiliriz.

Şimdi soruda verilen kesişim eleman sayısını inceleyelim. A ile B kümelerinin kesişiminin eleman sayısı üç olarak verilmiş.

Eğer bir x elemanı kesişim kümesinde yer alıyorsa, B'nin yapısından dolayı eksi x elemanı da bu kesişimde olmak zorundadır. Yani kesişim kümesi elemanlarının negatiflerini de barındırmalıdır.

Üç elemanlı bir küme eksi işaretlileriyle birlikte kapalıysa, bu elemanlardan biri mutlaka sıfır olmalıdır. Diğer iki eleman ise birbirinin negatifi olan k ve eksi k sayıları olmalıdır.

Kesişim kümesi üç elemanlı olduğuna göre, A kümesinin üç elemanı sıfır, k ve eksi k olur. Dördüncü elemana da m diyelim.

Aynı mantıkla B kümesinin elemanları da sıfır, eksi k, k ve eksi m olur. Kesişimin bozulmaması için m sıfırdan ve artı eksi k değerlerinden farklı olmalıdır.

Şimdi bulduğumuz bu elemanları orijinal logaritmik ifadelerle eşleştirelim. A kümesinin elemanları logaritma iki tabanındaydı.

Buradan sırasıyla a, b, c ve d değerlerini iki tabanında üslü sayı olarak çekelim. Bunlar sırasıyla bir, iki üzeri k, iki üzeri eksi k ve iki üzeri m olur.

Soruda bize bu dört sayının çarpımının yedi bölü beş olduğu verilmiş. Bu bilgiyi kullanalım.