Logaritmik Fonksiyonlar ve Monotonluk

Merhaba arkadaşlar. Bu videoda logaritma ve fonksiyonların artanlık-azalanlık özelliklerini içeren harika bir soruyu birlikte çözeceğiz. İlk olarak soruda bize verilen f x eşittir a tabanında logaritma x fonksiyonunu ele alalım.

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın, yani a değerinin, sıfırdan büyük ve birden farklı olması gerektiğini biliyoruz.

Bu durumda tabanımız a için iki temel durumu incelemeliyiz. Birinci durum, a değerinin birden büyük olması; ikinci durum ise a değerinin sıfır ile bir arasında olmasıdır.

Şimdi, bu iki duruma göre soruda verilen ilk üç öncülün doğruluk değerlerini sırayla inceleyelim. İlk olarak a'nın birden büyük olduğu durumu, yani fonksiyonumuzun artan olduğu durumu ele alalım.

Eğer a birden büyükse, f x artandır. Bu durumda eksi f x fonksiyonu azalan olur. Dolayısıyla birinci öncül bu durumda yanlıştır.

İkinci öncülü inceleyelim. f x üzeri eksi bir, f bir bölü x demektir. Bu da logaritma özelliğinden eksi f x'e eşittir. f x artan olduğu için, eksi f x azalandır. Yani bu öncül doğrudur.

Üçüncü öncüle bakalım. f eksi x'in azalanlığı. f eksi x fonksiyonunun tanımlı olması için x'in negatif olması gerekir. x artarken eksi x azalır. f artan olduğundan, içi azaldıkça kendisi de azalır. Dolayısıyla f eksi x azalandır, yani bu öncül de doğrudur.

Böylece a birden büyükken yanlış olan öncül sayısı sadece birdir. Ancak sorumuzda bizden yalnızca iki öncülün yanlış olması isteniyor. Demek ki a birden büyük olamaz.

Şimdi de ikinci durumu, yani a'nın sıfır ile bir arasında olduğu durumu inceleyelim. Bu durumda f x fonksiyonu azalandır.

Birinci öncüle bakalım. f x azalan olduğuna göre, eksi f x fonksiyonu artan olur. Dolayısıyla bu öncül doğrudur.