Logaritmik Eşitsizlikler ve Kümeler

Selam Beyza. Bu soruda logaritmik eşitsizlikler içeren iki kümenin kesişimini inceleyerek a doğal sayısını bulacağız.

A kümesi, logaritma iki tabanında x artı bir küçük eşittir a şartını sağlayan tam sayılardan oluşuyor.

Bu eşitsizliği incelemeden önce logaritmanın tanımı gereği x artı birin sıfırdan büyük olması gerektiğini not edelim. Yani x, eksi birden büyük olmalıdır.

Şimdi eşitsizliği çözersek, x artı bir küçük eşittir iki üzeri a olur.

Biri karşıya attığımızda, A kümesindeki x değerlerinin eksi bir ile iki üzeri a eksi bir arasında olduğunu görüyoruz.

Şimdi B kümesini ele alalım. Buradaki ifade biraz daha karmaşık görünüyor.

Yine tanım aralıklarına bakalım. x eksi iki sıfırdan büyük olmalı, yani x ikiden büyüktür. Ayrıca x artı bir de sıfırdan büyük olmalıdır. Dolayısıyla x her halükarda ikiden büyük olmalı.

İkinci terimdeki bir bölü iki tabanını, iki üzeri eksi bir olarak yazalım.

Tabandaki eksi bir kuvvetini başa bölü olarak attığımızda aradaki işaret artıya dönüşür.

Logaritma özelliklerinden, toplam durumundaki logaritmaları çarpım şeklinde tek bir logaritma altında toplayabiliriz.

Taban olan ikiyi karşıya attığımızda, içerideki çarpım dört veya dörtten büyük olmalıdır.