Logaritmik Dikdörtgenlerin Alanları Toplamı
Yayınlanma:
14. Dik koordinat düzleminde $f(x) = \log_3 x$ fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
Şekilde $[1, n + 1]$ aralığında her k tam sayısı için yüksekliği $f(k)$ olan dikdörtgenler çiziliyor.
Bu dikdörtgenlerin alanları toplamı $\log_3(10!)$ birimkaredir.
Buna göre n kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Soruda görsel içerik var: Dik koordinat düzleminde y ekseni ve x ekseni gösterilmiştir. x ekseni üzerinde 1, 2, 3, 4, ..., n, n+1 noktaları işaretlenmiştir. f(x) = log_3 x fonksiyonuna ait artan bir eğri (kırmızı) çizilmiştir. Bu eğrinin altında, tabanları x ekseni üzerinde olan dikdörtgenler bulunmaktadır. Her k tam sayısı için [k, k+1] aralığında, yüksekliği f(k) olan bir dikdörtgen çizilmiştir. Örneğin, ilk dikdörtgen [1, 2] aralığında yüksekliği f(1)=0 olan (görünmeyen) bir alandır. İkinci dikdörtgen [2, 3] aralığında yüksekliği f(2) olan, üçüncü dikdörtgen [3, 4] aralığında yüksekliği f(3) olan şeklindedir. Sonuncu dikdörtgen [n, n+1] aralığında yüksekliği f(n) olan bir dikdörtgendir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba! Bu soruda logaritma fonksiyonu ve dikdörtgenlerin alanları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz ef iks eşittir logaritma üç tabanında iks olarak verilmiş.
Logaritma ve Dikdörtgen Alanları
Şekildeki dikdörtgenlerin genişliklerine bakalım. İks ekseni üzerindeki ardışık tam sayılar arasındaki mesafe, yani taban uzunluğu her bir dikdörtgen için bir birimdir.
Soruda her bir dikdörtgenin yüksekliğinin ef ka olduğu söyleniyor. Örneğin iks eşittir iki noktasındaki dikdörtgenin yüksekliği ef iki, iks eşittir üçtekinin yüksekliği ef üç olacaktır.
Bir dikdörtgenin alanı taban çarpı yükseklik olduğuna göre, her bir dikdörtgenin alanı bir çarpı logaritma üç tabanında ka, yani doğrudan logaritma üç tabanında ka olur.
Şimdi tüm dikdörtgenlerin alanlarını toplayalım. Grafik birden başladığına göre ka eşittir birden başlayıp ene kadar giden dikdörtgenleri toplayacağız.
Toplam Alan Hesabı
Ef bir değeri logaritma üç tabanında birdir ve bu sıfıra eşittir. Bu yüzden alan toplamını etkilemez. Diğer terimleri fonksiyona göre yazalım.
Çözümün devamı Solvi’de
6 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
