Logaritmik Denklemler

Merhaba Zeynep, bu logaritma sorusunu birlikte çözelim. Pozitif tam sayılar üzerinden hareket edeceğiz.

Bize iki tane ifade verilmiş. İlki, logaritma üç tabanında a eksi iki tane logaritma sekiz tabanında b'nin ikiye eşit olduğu.

İkincisi ise, üç tane logaritma sekiz tabanında a artı logaritma iki tabanında c'nin dörde eşit olduğu bilgisidir.

Sekiz sayısını iki üzeri üç olarak yazabildiğimizi hatırlayalım. Bu, taban değiştirmede bize çok yardımcı olacak.

Şimdi ilk denklemdeki logaritma sekiz tabanını, iki tabanına dönüştürelim. Logaritma kuralı gereği, tabanın üssü başa bir bölü olarak geçer.

Düzenlersek, logaritma üç tabanında a eksi iki bölü üç logaritma iki tabanında b ifadesi ikiye eşittir.

Bize b çarpı c soruluyor. Ancak a, b ve c'nin pozitif tam sayılar olduğunu unutmamalıyız. Bu, değer aralığımızı kısıtlayan çok önemli bir detay.

İkinci denkleme bakalım. Burada da sekiz tabanını iki üzeri üç olarak yazıyoruz. Baştaki üç çarpanı ile tabandan gelen bir bölü üç sadeleşecektir.

Sadeleştirme sonucunda elimizde logaritma iki tabanında a artı logaritma iki tabanında c eşittir dört kalır.

Logaritma toplama kuralını kullanarak bu ifadeyi, logaritma iki tabanında parantez içinde a çarpı c eşittir dört şeklinde yazabiliriz.

Buradan a ile c'nin çarpımının iki üzeri dört, yani on altı olduğunu buluruz.

Şimdi elimizde a çarpı c eşittir on altı var. Birinci denklemde logaritma üç tabanında a ifadesinin tam sayı olması gerektiğini görüyoruz çünkü a bir tam sayıdır. Üçün kuvvetlerini denemeliyiz.

Eğer a dokuz olursa, on altı dokuza bölünmez. Bu yüzden c tam sayı çıkmaz. Eğer a üç olursa, c on altı bölü üç olur, yani tam sayı olmaz.

a nın bir olduğu durumu düşünelim. Bu durumda c on altı olur ve bu tam sayı şartını sağlar.