Logaritmik Denklem Sistemleri
Yayınlanma:
13. $a, b$ ve $c$ birer pozitif gerçel sayı olmak üzere
$$\log_5(250 \cdot a \cdot b) - (\log_5 a) \cdot (\log_5 b) = 4$$
$$\log_5(2 \cdot b \cdot c) - (\log_5 b) \cdot (\log_5 c) = 1$$
$$\log_5(a \cdot c) - (\log_5 a) \cdot (\log_5 c) = 0$$
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre b'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
A) 125 B) 100 C) 75 D) 50 E) 25
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Bu karmaşık gibi görünen logaritma sorusunu çözmek için değişken değiştirme yöntemini kullanalım. Amacımız b'nin alabileceği değerler çarpımını bulmak.
Logaritma Denklemleri
İşlemleri basitleştirmek adına; logaritma 5 tabanında a, b ve c ifadelerine sırasıyla x, y ve z diyelim.
| Değişkenler | ||
|---|---|---|
| $\log_5 a = x$ | $\log_5 b = y$ | $\log_5 c = z$ |
İlk denklemi düzenleyerek başlayalım. 250 sayısını 125 çarpı 2 olarak düşünürsek, logaritma ifadesini parçalayabiliriz.
1. Denklemin Düzenlenmesi
Logaritma kurallarına göre çarpım toplamaya dönüşür. log 5 tabanında 125, 3'e eşittir. Diğer terimleri de x ve y cinsinden yazalım.
Sabitleri bir tarafa, değişkenleri diğer tarafa toplayalım. 3'ü sağ tarafa atınca 1 kalır.
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için hepsini karşıya atıp, her iki tarafa 1 ekleyelim. Böylece çok tanıdık bir yapı elde ederiz.
Sol taraf artık x eksi 1 çarpı y eksi 1 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
Aynı mantığı diğer denklemlere de uygularsak simetrik bir sistem elde ederiz. Kolaylık olsun diye x eksi 1'e büyük X diyelim.
Elde Edilen Sistem
| Dönüşüm: $X=x-1, Y=y-1, Z=z-1$ | |
|---|---|
| 1. Denklem | $(x-1)(y-1) = \log_5 2$ |
| 2. Denklem | $(y-1)(z-1) = \log_5 2$ |
| 3. Denklem | $(x-1)(z-1) = 1$ |
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
