Logaritmik değerlerin karşılaştırılması
Yayınlanma:
11. Bilimsel bir hesap makinesinde $1 < n \le 64$ olmak üzere, her $n$ pozitif tam sayısı için $\log_2 n$ ve $\log_4 n$ değerleri hesaplandığında bulunan her bir değerin ya tam sayı ya da ondalık sayı olduğu görülüyor. Ekranda görünen değer tam sayı ise o sayıyı, ondalıklı sayı ise o sayının tam kısmı bir kâğıda yazılıyor. Buna göre, kaç farklı $n$ değeri için kâğıda yazılan sayılardan biri, diğerinin 2 katı olur? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Ali, bu güzel logaritma sorusunu birlikte çözelim. Soruda n tam sayısının birden büyük ve altmış dörde eşit veya küçük olduğunu biliyoruz.
Logaritma ve Tam Kısım Problemi
Hesap makinesinde iki tabanında n ve dört tabanında n logaritma değerleri hesaplanıyor. Eğer sayı ondalıklıysa sadece tam kısmı, tam sayıysa kendisi kağıda yazılıyor. Yani aslında taban fonksiyonundan bahsediyoruz.
Dört tabanını iki tabanına çevirirsek, logaritma dört tabanında n'i, bir bölü iki çarpı logaritma iki tabanında n şeklinde yazabiliriz.
Kağıda yazılan sayılarımıza x ve y diyelim. x değeri, logaritma iki tabanında n'in tam kısmı olsun. y ise dört tabanında n'in tam kısmı.
Değişkenleri Tanımlayalım
Soruda bu sayılardan birinin diğerinin iki katı olması isteniyor. Yani ya x eşittir iki y, ya da y eşittir iki x olmalı. Ancak logaritma iki tabanında değer her zaman daha büyük veya eşittir, bu yüzden sadece x eşittir iki y durumunu incelememiz yeterli.
Şimdi n değerlerini iki'nin kuvvetlerine göre aralıklara bölerek inceleyelim.
| n Aralığı | x = \lfloor \log_2 n \rfloor | y = \lfloor \frac{1}{2} \log_2 n \rfloor | x = 2y mu? |
|---|---|---|---|
| 2 \leq n < 4 | 1 | 0 | 1 = 0? (Hayır) |
| 4 \leq n < 8 | 2 | 1 | 2 = 2? (Evet) |
| 8 \leq n < 16 | 3 | 1 | 3 = 2? (Hayır) |
| 16 \leq n < 32 | 4 | 2 | 4 = 4? (Evet) |
| 32 \leq n < 64 | 5 | 2 | 5 = 4? (Hayır) |
| n = 64 | 6 | 3 | 6 = 6? (Evet) |
Tabloya göre şartı sağlayan üç farklı n aralığı veya değeri bulduk. İlk grubumuz dört ile sekiz arasındaki n tam sayıları.
Şartı Sağlayan n Değerleri
Burada dört tane tam sayı değeri var.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
