Logaritmalı İfadeler ile İşlem Yerleştirme

MathematicsLogaritmaZorYKS

Yayınlanma:

Soru

19. Aşağıdaki kutuların içine $\log_6 2, \log_6 3, \log_6 9, \log_6 12, \log_6 16$ ve $\log_6 54$ sayıları her kutuya farklı bir sayı gelecek biçimde yerleştirildiğinde elde edilen tüm sonuçlar tam sayı olmaktadır.

$\square + \square =$

$\square - \square =$

$\square : \square =$

Buna göre elde edilen sonuçların toplamı en az kaçtır?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Soruda görsel içerik var: Soru içerisinde altı adet logaritmik ifade (log_6(2), log_6(3), log_6(9), log_6(12), log_6(16), log_6(54)) ve bunlar için üç denklem şablonu (toplama, çıkarma, bölme) bulunmaktadır. Boş kare kutular, bu ifadelerin yerleştirileceği yerleri temsil etmektedir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Selam gençler! Bugün elimizde logaritma özellikleri ile ilgili keyifli bir bulmaca sorusu var. Hadi birlikte çözelim.

Logaritma Yerleştirme Sorusu

2
Adım 2

Bize altı tane logaritmik değer verilmiş ve bunları toplama, çıkarma ve bölme işlemlerindeki kutulara yerleştirmemiz isteniyor. Önemli nokta, tüm sonuçların tam sayı olması.

Verilen Sayılar:

$$\log_6 2, \quad \log_6 3, \quad \log_6 9, \quad \log_6 12, \quad \log_6 16, \quad \log_6 54$$
3
Adım 3

Önce bu ifadeleri daha sade hallerine getirelim. Hepsini logaritma altı tabanında 2 ve 3 cinsinden yazmaya çalışalım.

$$\log_6 2 = a$$
$$\log_6 3 = b$$
4
Adım 4

Logaritma özelliklerini hatırlayalım. Taban altı olduğu için, iki çarpı üç altı eder. Yani a artı b toplamı, logaritma altı tabanında altıya, yani bire eşittir.

$$a + b = \log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 (2 \cdot 3) = 1$$
5
Adım 5

Şimdi diğer sayıları düzenleyelim. Logaritma altı tabanında dokuz, üçün karesi olduğu için iki b eder.

$$\log_6 9 = \log_6 3^2 = 2b$$
6
Adım 6

Logaritma altı tabanında on iki, iki çarpı altıdır. Yani logaritma altı tabanında iki artı birdir. Bu da a artı bir eder.

$$\log_6 12 = \log_6 (2 \cdot 6) = a + 1$$
7
Adım 7

Logaritma altı tabanında on altı, ikinin dördüncü kuvvetidir. Yani dört a yapar.

$$\log_6 16 = \log_6 2^4 = 4a$$
8
Adım 8

Son olarak, logaritma altı tabanında elli dört, yirmi yedi çarpı ikidir. Yani üç b artı a olarak yazılabilir.

$$\log_6 54 = \log_6 (3^3 \cdot 2) = 3b + a$$
9
Adım 9

Elimizdeki sayılar şunlar: a, b, iki b, a artı bir, dört a ve üç b artı a. Şimdi toplama işlemini düşünelim.

Liste:

$$a, \quad b, \quad 2b, \quad a+1, \quad 4a, \quad 3b+a$$
10
Adım 10

Toplam sonucunun tam sayı olması için a ve b'yi eşleştirmeliyiz. Çünkü a artı b birdir.

1. İşlem: Toplama

$$\log_6 2 + \log_6 3 = a + b = 1$$
11
Adım 11

Şimdi çıkarma işlemini düşünelim. Birbirinden çıkınca tam sayı veren iki değer seçmeliyiz.

2. İşlem: Çıkarma

$$\log_6 54 - \log_6 9 = (3b+a) - 2b = b+a = 1$$
12
Adım 12

Alternatif olarak, a artı bir ile a'yı da çıkarabilirdik. Ama a ve b'yi toplama işleminde kullandık. Kullandığımız sayıları eleyelim.

$$Kalanlar: \quad 4a, \quad a+1$$
13
Adım 13

Son işlem bölme işlemi. Dört a bölü a artı bir tam sayı yapmayabilir. Demek ki eşleştirmeyi değiştirmeliyiz.

Strateji Değişikliği: En küçük toplam için sonuçları küçük tutalım.

14
Adım 14

Tekrar deneyelim. Bölme işlemi için birbirinin katı olan sayıları seçmek mantıklı görünüyor.

Yeni Eşleştirme

15
Adım 15

Dört ay ve ay'ı kullanalım. Logaritma altı tabanında on altı bölü logaritma altı tabanında iki.

Bölme İşlemi:

$$\frac{\log_6 16}{\log_6 2} = \frac{4a}{a} = 4$$
16
Adım 16

Geriye kalan sayılarımız: b, iki b, a artı bir ve üç b artı a. Çıkarma işlemine bakalım.

Çıkarma İşlemi:

$$\log_6 12 - \log_6 2 ? hayır, a zaten kullanıldı.$$
17
Adım 17

Çıkarma için üç b artı a ile a artı bir'i deneyelim. Üç b artı a eksi parantezinde a artı bir. A'lar gider ve üç b eksi bir kalır. Bu her zaman tam sayı değil.

Tekrar düşünelim.

Çözümün devamı Solvi’de

17 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Logaritma
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Bakteri Sayısı ve Logaritma Logaritma · Orta Logaritmik Denklem Çözümü Logaritma · Kolay Üstel Denklem Çözümü Logaritma · Orta Logaritmik Fonksiyonun Tanım Kümesi Logaritma · Orta Radyoaktif Madde Bozunumu Sorusu Logaritma · Orta Logaritmik Cetvel Sorusu Logaritma · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir