Logaritmalı Eşitsizlik Sorusu

Merhaba Elif, seninle birlikte bu güzel AYT logaritma sorusunu adım adım çözelim.

Sorumuzda verilen ifadeleri daha rahat incelemek için onlara harfler vererek başlayalım. Logaritma on altı tabanında iks ifadesine a diyelim.

Logaritma sekiz tabanında ye ifadesine b diyelim.

Ve son olarak, logaritma dört tabanında ze ifadesine de c diyelim. Soruda bu ifadelerin her birinin birer pozitif tam sayı olduğu belirtilmiş. Yani a, b ve ce pozitif tam sayılardır.

Şimdi sorudaki eşitsizliği bu harflerle yazalım. Logaritma on altı tabanında iks, logaritma sekiz tabanında ye'den, o da logaritma dört tabanında ze'den küçükmüş. Yani, a küçüktür b küçüktür ce olmalıdır.

Soruda verilen ikinci denkleme bakarsak, bir bölü logaritmalı terimlerin toplamı bire eşit. Bu denklemi de harflerimiz cinsinden yazalım.

Şimdi elimizdeki bu koşulları kullanarak a, b ve ce pozitif tam sayılarını belirleyelim.

Eğer a sayısı üç veya daha büyük bir tam sayı olsaydı, b sayısı a'dan büyük olduğu için en az dört, ce de en az beş olurdu.

Bu durumda bir bölü a, bir bölü b ve bir bölü ce toplamı, bir bölü üç, bir bölü dört ve bir bölü beş toplamından küçük veya eşit olurdu. Bu toplam ise sıfır virgül yetmiş sekiz gibi bir değer yapar, yani birden kesinlikle küçük kalır.

Toplamın bire eşit olabilmesi için, a değerinin üçten küçük olması gerekir. Pozitif tam sayı olduğuna göre, a sayısı ya bir ya da iki olmalıdır.

Eğer a eşittir bir olsaydı, bir bölü a ifadesi bire eşit olurdu. Bu durumda bir bölü b artı bir bölü ce toplamının sıfır olması gerekirdi ki, pozitif tam sayılarla bu imkansızdır.

O halde, a değerinin kesinlikle iki olması gerektiğini buluyoruz.

a değerini iki olarak bulduktan sonra, kalan değişkenleri bulmak için denklemde yerine yazalım.

Eşitliğin her iki tarafından bir bölü iki çıkarırsak, bir bölü b artı bir bölü ce toplamı bir bölü ikiye eşit olur.