Logaritmalı Asal Sayı Problemi

Merhaba Eylül, logaritma ve asal sayılar içeren bu güzel soruyu birlikte çözelim.

Soruda A ve x'in birer sayma sayısı olduğu, yani pozitif tam sayı olduğu belirtilmiş. Ayrıca iki ifadenin farklı birer asal sayı olduğu söyleniyor.

Bu iki ifadenin sonucu farklı asal sayılar olmalı. İlk ifadeden başlayalım. logaritma iki tabanında x'in bir asal sayı olması için x'in ikinin bir kuvveti olması gerekir.

Asal sayıları hatırlayalım: iki, üç, beş, yedi ve böyle devam eder. A değerini en küçük yapmak istediğimiz için en küçük asal sayılardan başlayalım.

Eğer ilk ifademiz en küçük asal sayı olan 2'ye eşit olursa, logaritma iki tabanında x eşittir iki olur.

Buradan x eşittir iki üzeri ikiden dört bulunur.

Şimdi bu x değerini ikinci ifadede yerine koyalım. logaritma dört tabanında A artı dört bir asal sayı olmalı. Ayrıca bu sayı ilk bulduğumuz asaldan farklı olmalı, yani iki olamaz.

Bu ifadenin sonucuna p diyelim. p sayısı 2 dışındaki bir asal sayı olmalı. A'yı küçük tutmak için p'yi 3 seçelim.

Bu durumda A artı dört eşittir dört üzeri üç olur. Dört üzeri üç ise altmış dörttür.

Dördü karşıya attığımızda A eşittir altmış bulunur. Bakalım daha küçük bir A elde edebilir miyiz?

Şimdi rolleri değiştirelim. İlk ifadeyi 2 değil de 3 yapmaya çalışalım.

Bu durumda x eşittir iki üzeri üçten sekiz olur.

İkinci ifadede x yerine sekiz yazalım. logaritma sekiz tabanında A artı sekiz, 3'ten farklı bir asal sayı olmalı.

Burada p'yi en küçük asal olan 2 seçersek A'yı oldukça küçültebiliriz.

A artı sekiz eşittir sekiz üzeri iki, yani altmış dört olur.