Logaritma İşleminin En Küçük Değeri

MathematicsLogarithmsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

18. Aşağıda verilen işlemde, kutucuklar içerisine birden büyük ve birbirinden farklı tam sayılar yazıldıktan sonra işlemin sonucu hesaplanacaktır.

$$\frac{\log_{2}\Box + \log_{4}\Box}{\log_{\Box}4}$$

Buna göre işlemin sonucunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) $\log_{2}6$ B) $\log_{3}4$ C) $\log_{2}4\sqrt{3}$ D) $\log_{4}6$ E) $\log_{2}9$

Soruda görsel içerik var: Üst kısımda bir logaritmik kesir ifadesi verilmiştir. Pay kısmında log2(x) + log4(y) ve payda kısmında logz(4) bulunmaktadır. Burada x, y ve z kutucuklar ile gösterilmiş, 1'den büyük ve birbirinden farklı tam sayılar olarak tanımlanmıştır.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Selam Zeynep, bu logaritma sorusunu birlikte çözelim. Sorumuzda kutucukların içine birden büyük ve birbirinden farklı tam sayılar yerleştirerek işlemin en küçük değerini bulmamız isteniyor.

Logaritma İşlemi En Küçük Değer

2
Adım 2

Kutucuklardaki sayılara isim verelim. Üstteki ilk kutuya a, ikinciye b, paydadaki taban kutusuna ise c diyelim.

$$\frac{\log_{2}{a} + \log_{4}{b}}{\log_{c}{4}}$$
3
Adım 3

Şartlarımızı not edelim: a, b ve c sayıları tam sayı, birden büyük ve hepsi birbirinden farklı olmalı.

Şartlar:

- $a, b, c \in \mathbb{Z}^+$

- $a, b, c > 1$

- $a \neq b \neq c$

4
Adım 4

İşlemi daha kolay analiz etmek için tüm logaritmaları aynı tabana çekelim. İki tabanını kullanalım.

Taban Değiştirme ve Düzenleme

5
Adım 5

Logaritma dört tabanında b ifadesini, ikinin karesi tabanında yazarsak başa bir bölü iki katsayısı gelir. Yani logaritma iki tabanında b'nin karekökü olur.

$$\log_{4}{b} = \log_{2^2}{b} = \frac{1}{2} \log_{2}{b} = \log_{2}{\sqrt{b}}$$
6
Adım 6

Şimdi pay kısmını birleştirelim. Toplama işlemi, aynı tabanda çarpma demektir.

$$\log_{2}{a} + \log_{2}{\sqrt{b}} = \log_{2}(a \cdot \sqrt{b})$$
7
Adım 7

Paydadaki ifadeyi de düzenleyelim. Logaritma c tabanında dört, bir bölü logaritma dört tabanında c'ye eşittir.

$$\frac{1}{\log_{c}{4}} = \log_{4}{c} = \log_{2^2}{c} = \frac{1}{2} \log_{2}{c}$$
8
Adım 8

Hepsini ana denklemde yerine koyalım.

$$\log_{2}(a \cdot \sqrt{b}) \cdot \frac{1}{2} \log_{2}{c}$$
$$\frac{1}{2} \cdot \log_{2}(a \cdot \sqrt{b}) \cdot \log_{2}{c}$$
9
Adım 9

Bu değerin en küçük olmasını istiyoruz. Logaritma tabanları birden büyük olduğu için, içteki sayıları ne kadar küçük seçersek sonuç o kadar küçük olur.

Değer Verme Aşaması

Sayılardan biri karekök içinde olduğu için b sayısını bir tam kare seçmek mantıklı görünüyor.

Seçeneklerabc
Deneme 1342
Deneme 2243
10
Adım 10

İlk denememizi yapalım. a eşittir üç, b eşittir dört ve c eşittir iki olsun.

11
Adım 11

Logaritma dört tabanında dört birdir. Logaritma iki tabanında dört ise ikidir.

12
Adım 12

Paydaki biri, logaritma iki tabanında iki olarak yazıp birleştirelim. Sonuç bir bölü iki çarpı logaritma iki tabanında altı olur.

Bu değer şıklarda yok, daha farklı bir kombinasyon deneyelim.

Çözümün devamı Solvi’de

12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Logarithms
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Logaritma Denklem Sistemi Logarithms · Orta Logaritmik İfade Hesabı Logarithms · Orta Logaritmik Denklem Sistemi Logarithms · Orta Logaritmik Kümeler ve Denklem Sistemleri Logarithms · Zor Deprem Şiddeti ve Logaritma Logarithms · Orta Logaritmik Şeker Karışım Problemi Logarithms · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir