Limit ve Türev Sorusu

MathematicsDerivatives and LimitsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

15.

Yukarıdaki grafik $y=f(x)$ fonksiyonuna aittir.

Buna göre,

$$\lim_{x \to 1} \left[ \frac{f'(x) - 2}{x - 1} + \frac{f'(x + 3)}{x^3 - 1} \right]$$

İşleminin sonucu kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) $-\frac{1}{2}$

Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafik, $x=-1$ noktasında bir yerel maksimuma sahiptir ve $f(-1)$ değeri grafikte $y=3$ hizasına karşılık gelmektedir. Grafiğin $x=2$ noktasında $x$ eksenini kestiği görülmektedir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Selam Ali, bu soruda grafik yorumlama ve limit kurallarını kullanarak bir ifadeyi hesaplayacağız. Hazırsan başlayalım.

Grafik ve Limit Analizi

2
Adım 2

Öncelikle bize verilen f fonksiyonunun grafiğini inceleyelim. İki kritik noktamız var. Birincisi, eksi bir noktasında grafik tepe yapıyor. Bu, eksi birdeki türevin sıfır olduğu anlamına gelir.

$$f'(-1) = 0$$
3
Adım 3

İkinci kritik nokta ise iki noktası. Grafik burada x eksenine teğet, yani yerel bir minimum var. Bu durumda iki noktasındaki türev de sıfırdır.

$$f'(2) = 0$$
4
Adım 4

Ayrıca grafikte yerel maksimum noktasının koordinatlarını görüyoruz. Eksi bir için fonksiyon değeri üçtür.

$$f(-1) = 3$$
5
Adım 5

Şimdi bizden istenen limit ifadesine bakalım. İlk terimi ayrı, ikinci terimi ayrı inceleyelim.

$$\lim_{x \to -1} \left[ \frac{f'(x) - 2}{x - 1} + \frac{f'(x + 3)}{x^2 - 1} \right]$$
6
Adım 6

İlk terimde x yerine eksi bir yazdığımızda payda sıfır olmuyor. Bu yüzden doğrudan değerleri yerine koyabiliriz.

Birinci Terim

$$\lim_{x \to -1} \frac{f'(x) - 2}{x - 1} = \frac{f'(-1) - 2}{-1 - 1}$$
7
Adım 7

Az önce f'in eksi birdeki değerinin sıfır olduğunu bulmuştuk. Bunu denklemde yerine yazalım.

8
Adım 8

Eksi ikinin eksi ikiye bölümü bir eder. İlk kısmın sonucunu bulduk.

9
Adım 9

Şimdi ikinci terime odaklanalım. Limit x eksi bire giderken, paydadaki ifade sıfır oluyor.

İkinci Terim

$$\lim_{x \to -1} \frac{f'(x + 3)}{x^2 - 1}$$
10
Adım 10

Pay kısmında x yerine eksi bir yazarsak f üssü iki elde ederiz. Grafikten bildiğimiz üzere bu değer de sıfırdı.

$$f'(-1 + 3) = f'(2) = 0$$
11
Adım 11

Karşımızda sıfır bölü sıfır belirsizliği var. Bu belirsizliği çözmek için L'Hopital kuralını uygulayalım.

L'Hopital uyguluyoruz:

12
Adım 12

Payın türevi f'in ikinci türevi çarpı içindekinin türevidir. Paydanın türevi ise iki x'tir.

$$\lim_{x \to -1} \frac{f''(x + 3) \cdot 1}{2x}$$

Çözümün devamı Solvi’de

11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Derivatives and Limits
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Limit ve Türev İlişkisi Sorusu Derivatives and Limits · Orta Parçalı Fonksiyon Türevi Derivatives and Limits · Orta Limit ve Türev İlişkisi Sorusu Derivatives and Limits · Orta Türev ve Limit İlişkisi Derivatives and Limits · Orta Limit ve Türev İlişkisi Derivatives and Limits · Orta Limit ve Türev İlişkisi Derivatives and Limits · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir