Limit ve Türev İlişkisi Sorusu

Merhaba Nazire, bu AYT matematik sorusunu birlikte adım adım inceleyelim. Bize f x eşittir x kare artı bir fonksiyonu verilmiş ve h sıfıra giderken bir limit ifadesinin sonucunu bulmamız istenmiş. L'Hopital kuralını kullanmadan, türev tanımıyla ilerleyeceğiz.

İstenen limit ifadesindeki pay kısmına baktığımızda, kare farkı biçiminde bir yapı görüyoruz. İki kare farkı özdeşliğini hatırlayalım: yani a kare eksi b kare eşittir a eksi b çarpı a artı b.

Bu kuralı paya uygularsak, ifademiz f parantez bir artı h eksi f parantez bir eksi h, çarpı f parantez bir artı h artı f parantez bir eksi h şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki h harfini de sol tarafa alalım.

Şimdi limiti iki ayrı çarpanın limiti olarak düşünelim. Önce sağdaki çarpanı ele alalım. h sıfıra giderken f bir artı h ifadesi f bir değerine, f bir eksi h ifadesi de yine f bir değerine yaklaşır.

Yani bu çarpanın sonucu f bir artı f birden, iki tane f bir olacaktır.

Şimdi sol taraftaki zor görünen parçaya odaklanalım. Bu aslında türevin tanımıyla doğrudan ilişkilidir. f bir artı h eksi f bir eksi h bölü h ifadesini daha tanıdık bir hale getirmek için paya f bir ekleyip çıkaralım.

Bu ifadeyi iki ayrı kesir olarak yazalım: f bir artı h eksi f bir bölü h, artı f bir eksi f bir eksi h bölü h.