Limit ve Teğet Problemi
Yayınlanma:
17. $m$ bir gerçel sayı olmak üzere, dik koordinat düzleminde gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = x^2 + m^2$ ve $g(x) = 2mx$ fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. $f$ ve $g$ fonksiyonunun grafikleri $A(x_0, y_0)$ noktasında teğettir. Buna göre, $$\lim_{m \to \frac{1}{2}} \frac{y_0 - x_0}{4m^2 - 1}$$ limitinin değeri kaçtır? A) 1 B) $\frac{1}{2}$ C) $\frac{1}{3}$ D) $\frac{1}{4}$ E) $\frac{1}{6}$
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde $f(x) = x^2 + m^2$ parabolü (kırmızı) ve $g(x) = 2mx$ doğrusu (siyah) gösterilmiştir. Bu iki grafik $A(x_0, y_0)$ noktasında birbirine teğettir. Orijin noktası O ile işaretlenmiştir. Grafik üzerinde $x_0$ ve $y_0$ için elle yazılmış 2 ve 4 değerleri mevcuttur.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba arkadaşlar! Bu soruda, dik koordinat düzleminde birbirine teğet olan iki fonksiyon verilmiş. Bizden istenen ise bu teğet noktasının koordinatlarına bağlı bir limitin değerini bulmaktır. Öncelikle teğetlik şartını analiz ederek başlayalım.
f(x) ve g(x) Fonksiyonlarının Teğetliği
Teğetlik durumunu daha iyi görebilmek için fonksiyonların grafiklerini ve teğet noktası olan A noktasını koordinat sisteminde çizelim.
İki grafiğin bir noktada teğet olması, bu iki fonksiyonun tek bir ortak noktaya sahip olduğu anlamına gelir. Yani, f x eşittir g x denkleminin yalnızca tek bir kökü, yani çift katlı kökü vardır.
Fonksiyonların kurallarını yerine yazalım. x kare artı m kare eşittir iki m x elde ederiz.
Bu denklemi çözmek için iki m x terimini sol tarafa eksi olarak geçirelim.
Dikkat ederseniz, bu ifade x eksi m'nin parantez karesinin açılımıdır.
Bu tam kare ifadenin sıfır olması için parantez içinin sıfır olması gerekir. Buradan çift katlı kökümüzü, yani teğet noktasının apsisi x sıfırı m olarak buluruz.
Teğet noktasının ordinatı olan y sıfırı bulmak için, bulduğumuz apsis değerini fonksiyonlardan birinde yerine yazalım. g x fonksiyonunu kullanırsak, g m eşittir iki m çarpı m olur.
İki m çarpı m ifadesi iki m kareye eşittir. Böylece y sıfır değerini de m cinsinden bulmuş olduk.
Harika! Şimdi bulduğumuz x sıfır ve y sıfır değerlerini not edelim ve bizden istenen limit ifadesine odaklanalım.
x_0 ve y_0 Değerleri
Bizden istenen limit, m bire bölü ikiye giderken y sıfır eksi x sıfır bölü dört m kare eksi bir ifadesidir.
Çözümün devamı Solvi’de
11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
