Limit ve Süreklilik Sorusu

Merhaba Ceren, bu fonksiyon limit sorusunu birlikte adım adım inceleyelim.

Soruda fonksiyonun her noktada bir limiti olduğu söylenmiş. Bu limit değerini a noktası için L olarak tanımlayalım.

Aynı cümlede bu limit değerinin pozitif bir gerçel sayı olduğu da belirtilmiş. Yani L sıfırdan büyük bir sayı.

Limitin var olması, grafikte sağdan ve soldan yaklaştığımızda aynı L değerine ulaşacağımız anlamına gelir.

Şimdi bize verilen ilk eşitliği tahtaya yazıp üzerinden ilerleyelim.

Biraz önce x, a'ya sağdan yaklaşırken sağ limitin L değerine eşit olduğunu söylemiştik. Denklemi güncelleyelim.

Buradan fonksiyonun a noktasındaki değeri olan ev a'yı yalnız bırakırsak, L bölü iki olarak buluruz. Bu bilgiyi sıradaki eşitlikte kullanacağız.

Sıra geldi soruda verilen ikinci eşitliği çözmeye.

Sol taraftaki, fonksiyonun a'ya soldan yaklaşırkenki limiti de bildiğimiz gibi L'ye eşittir.

Sağdaki limitin içindeki ev a ifadesi, x değişkenine bağlı olmadığı için bir sabittir. Çarpım durumundaki bu sabiti limitin başına alabiliriz.

Ev x'in limiti yerine de L yazdığımızda, denklem L eşittir eksi dört artı ev a çarpı L halini alır.

Bir önceki adımda bulduğumuz ev a eşittir L bölü iki eşitliğini hatırlayalım ve burada yerine koyalım.

Böylece eşitlikte sadece L bilinmeyeni kaldı. Çarpmayı yaparsak eksi dört artı L kare bölü iki olur.