Limit ve Parçalı Fonksiyon Sorusu

Merhaba sevgili öğrenciler. Bu videoda üniversite sınavında karşımıza çıkabilecek çok güzel bir limit sorusunu adım adım çözeceğiz. Öncelikle sorumuzu ve verilen fonksiyonu inceleyerek başlayalım.

Soruda a ve b pozitif tam sayılar olarak verilmiş. Fonksiyonumuz ise üç farklı bölgeye ayrılmış parçalı bir fonksiyon.

Bize bir limit denklemi verilmiş ve x eksi ikiye sağdan yaklaşırken f x limitinin değeri soruluyor. Şimdi bu denklemi analiz edelim.

İlk olarak, sol taraftaki ilk limit terimini, yani x sıfıra sağdan yaklaşırken f x artı bir ifadesini inceleyelim.

Değişken değiştirme yapalım. x artı bire u diyelim.

x değeri sıfıra sağdan, yani sıfırdan biraz büyük değerlerle yaklaşırken, u değeri bir artı sıfırdan biraz büyük değerler alacaktır. Yani u, bire sağdan yaklaşır.

u değeri bire sağdan yaklaşırken, u büyüktür bir şartını sağlar. Fonksiyonumuzda bir veya birden büyük değerler için üçüncü dalı kullanıyoruz.

Üçüncü dalda fonksiyon sabit değerdedir ve üç a artı b ye eşittir. O halde bu limitin değeri üç a artı b olur.

Şimdi ikinci limit terimine geçelim. Yani x eksi bire soldan yaklaşırken f x eksi bir limitini hesaplayalım.

Burada da x eksi bire v diyelim.

x değeri eksi bire soldan, yani eksi birden biraz küçük değerlerle yaklaşırken, v değeri eksi bir eksi birden eksi ikiye soldan yaklaşacaktır. Yani v, eksi ikiye soldan yaklaşır.

v eksi ikiye soldan yaklaştığı için, v küçüktür eksi iki aralığındadır. Bu durumda fonksiyonumuzun birinci dalını kullanmalıyız.

Birinci dalda fonksiyonumuz x artı iki a olarak tanımlanmış. v yerine eksi iki yazdığımızda bu limitin değeri eksi iki artı iki a olur.