Limit ve Bileşke Fonksiyonlar
Yayınlanma:
9. Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı f ve g fonksiyonları yardımıyla
$$(gof)(x) = \begin{cases} \frac{|f(x)|}{f(x)} & f(x)>0 \\ 0 & f(x)=0 \\ -1 & f(x)<0 \end{cases}$$
fonksiyonu tanımlanıyor.
Buna göre,
• $\lim_{x \to 2} g(x-2)$
• $\lim_{x \to 3} g(x^2 - x)$
• $\lim_{x \to -2} g(x^2 - 2x)$
limitlerinin var olan değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Emine, bu limit ve bileşke fonksiyon sorusunu birlikte adım adım inceleyelim.
Fonksiyon Analizi
Öncelikle bize verilen g nin f ile bileşkesini, yani g bileşke f x fonksiyonunu sadeleştirelim. f x pozitifse, mutlak değer olduğu gibi çıkar.
f x sıfırdan büyük olduğunda, f x bölü f x ten bu değer bir gelir.
Burada g fonksiyonu, içine giren f x değerinin işaretine göre sonuç veriyor. Eğer girdi pozitifse sonuç bir, sıfırsa sıfır, negatifse eksi bir oluyor.
Gözlem: $g(u)$ fonksiyonu aslında işaret fonksiyonu gibidir:
- $u > 0 \implies g(u) = 1$
- $u = 0 \implies g(u) = 0$
- $u < 0 \implies g(u) = -1$
Şimdi sırayla bizden istenen limitleri inceleyelim. İlk limitimiz x ikiye giderken g x eksi iki.
Limitlerin İncelenmesi
Bu limiti incelerken sağdan ve soldan yaklaşmalıyız. x'e ikiye sağdan yaklaşırsak, x eksi iki ifadesi sıfıra sağdan, yani pozitif bir değerle yaklaşır.
Hatırlarsan g fonksiyonu pozitif girdiler için birdi, o halde sağ limit bir olur.
Soldan bakarsak, x ikiye soldan yaklaşırken x eksi iki sıfıra soldan, yani negatif taraftan yaklaşır.
Negatif girdiler için g fonksiyonumuz eksi birdi. Sağ ve sol limitler birbirinden farklı olduğu için bu noktada limit yoktur.
İkinci limitimize geçelim: x üçe giderken g x kare eksi x.
İkinci Limit
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
