Limit Özellikleri ve Süreklilik Analizi

MathematicsLimits and ContinuityZorYKS

Yayınlanma:

Soru

10. L bir gerçek sayı olmak üzere, gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için $\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} g(x) = L$ eşitliği sağlanıyor. Buna göre,

I. $f(3) = g(3)$

II. $\lim_{x \to 3} \frac{f(x) - g(x)}{g(x)} = 0$

III. $\lim_{x \to 3} 5^{f(x) - g(x)} = 1$

ifadelerinin hangileri her zaman doğrudur?

A) Yalnız I

B) Yalnız II

C) Yalnız III

D) II ve III

E) I, II ve III

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Sungur, seninle birlikte bu güzel limit sorusunu adım adım çözelim. Sorumuzda efe ve ge fonksiyonlarının iks uce giderken limitlerinin gercek bir sayı olan eleye esit oldugu verilmis.

Verilenler

$$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} g(x) = L \quad (L \in \mathbb{R})$$
2
Adım 2

İlk öncülle baslayalım. f ucun ge uce esit oldugu iddia ediliyor. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, o noktadaki degeriyle aynı olmak zorunda degildir. Cunku fonksiyonların surekli oldugu belirtilmemis.

I. Öncülün Analizi

$$f(3) = g(3)$$
3
Adım 3

Bunu daha iyi gorebilmek icin bir karsı ornek olusturalım. efe ve ge fonksiyonlarını su sekilde tanımlayalım.

$$f(x) = \begin{cases} L & x \neq 3 \\ a & x = 3 \end{cases} \quad \text{ve} \quad g(x) = \begin{cases} L & x \neq 3 \\ b & x = 3 \end{cases}$$
4
Adım 4

Burada a ve be birbirinden farklı sayılar olsun. Bu durumda fonksiyonların iks uce giderken limitleri eleye esit olur, fakat f ucun degeri aya, ge ucun degeri ise beye esit oldugundan birbirine esit olmazlar. Dolayısıyla birinci öncül her zaman dogru degildir.

5
Adım 5

Simdi ikinci öncüle gecelim. Bizden bu limitin her zaman sıfır olup olmadıgı soruluyor.

II. Öncülün Analizi

$$\lim_{x \to 3} \frac{f(x) - g(x)}{g(x)} = 0$$
6
Adım 6

Eger ele sayısı sıfırdan farklı ise, limitlerin bolum kuralını kullanarak bu limiti kolayca hesaplayabiliriz.

$$L \neq 0 \implies \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - g(x)}{g(x)} = \frac{L - L}{L} = 0$$
7
Adım 7

Fakat ele sıfıra esit oldugunda karsımıza sıfır bolu sıfır belirsizligi cıkar. Bu durumda limit sıfırdan farklı bir sayı olabilir veya hic var olmayabilir.

$$L = 0 \implies \text{Sıfır bölü sıfır belirsizliği oluşur.}$$
8
Adım 8

Hemen bir karsı ornek tasarlayalım. f iks fonksiyonunu iki carpii iks eksi uc, ge iks fonksiyonunu ise iks eksi uc olarak secelim.

$$f(x) = 2(x-3) \quad \text{ve} \quad g(x) = x-3$$

Çözümün devamı Solvi’de

8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Limits and Continuity
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Limitin varlığı sorusu Limits and Continuity · Orta Limit ve Fonksiyon Analizi Limits and Continuity · Orta Fonksiyon Limiti ve Süreklilik Sorusu Limits and Continuity · Zor Limit of Function Combinations Limits and Continuity · Zor Limit of a Composite Function Involving a Piecewise Function Limits and Continuity · Zor Limit ve Süreklilik Sorusu Limits and Continuity · Zor

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir