Limit of a Composite Function

Merhaba Ceylan, seninle birlikte bu güzel limit sorusunu adım adım çözelim.

Soruda f x'in bir parabol, yani ikinci dereceden bir fonksiyon olduğu verilmiş. f çarpı g ise üçüncü dereceden bir fonksiyon. O halde g x birinci dereceden, yani doğrusal bir fonksiyon olmalıdır.

Şimdi grafiklerdeki y eksenini kesim noktalarına bakalım. f sıfır değerinin on iki olduğunu görüyoruz. İkinci grafikte ise f çarpı g sıfır değerinin yirmi dört olduğunu görüyoruz.

f sıfır çarpı g sıfır yirmi dörde eşit olduğuna göre, on iki çarpı g sıfır eşittir yirmi dört yazarız. Buradan g sıfır değerini iki olarak buluruz.

İkinci grafiğe dikkat edersek, f çarpı g fonksiyonunun grafiği x eşittir dört noktasında x eksenine teğettir. Bu, x eşittir dört değerinin f çarpı g fonksiyonunun çift katlı bir kökü olduğu anlamına gelir.

g x doğrusal bir fonksiyon olduğundan en fazla bir tane kökü olabilir. f çarpı g'nin x eşittir dörtte çift katlı kökü olması için, hem f x'in hem de g x'in x eşittir dörtte birer kökü olmalıdır.

O halde f x parabolünün kökleri eksi iki ve dört olur. Bu durumda f x fonksiyonunu, a baş katsayısı olmak üzere, a çarpı x artı iki çarpı x eksi dört şeklinde yazabiliriz.

f sıfır eşittir on iki bilgisini kullanarak a katsayısını bulalım. x yerine sıfır yazdığımızda, eksi sekiz a eşittir on iki elde ederiz. Buradan a'yı eksi üç bölü iki buluruz.

Böylece f x fonksiyonunun denklemini eksi üç bölü iki çarpı x artı iki çarpı x eksi dört olarak tam olarak belirlemiş olduk.

Şimdi de g x fonksiyonuna odaklanalım. g x'in kökünün dört olduğunu ve g sıfırın ikiye eşit olduğunu biliyoruz. O halde g x'i, m çarpı x eksi dört şeklinde kurabiliriz. x yerine sıfır yazarsak eksi dört m eşittir iki olur ve m değerini eksi bir bölü iki buluruz.