Limit Hesaplama Sorusu
Yayınlanma:
7. Gerçel sayılarda tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
[Grafik tasviri: Koordinat düzleminde $f(x)$ fonksiyonuna ait grafik verilmiştir. $x=1$ için y değerleri $2$ (boş), $3$ (boş) ve $4$ (dolu) şeklindedir.]
Buna göre,
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{((x^2 + 1)^2 - 4) \cdot |f(x) - 2|}{(x - 1)^2}$$
limitinin değeri kaçtır?
A) $-16$ B) $-8$ C) $0$ D) $16$ E) $24$
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde, x=1 noktasına kadar olan kısımda y=2x (yaklaşık olarak) şeklinde artan bir doğru grafiği görülmektedir. x=1 dikey doğrusunda üç nokta vardır: y=2'de açık bir nokta, y=3'te de açık bir nokta ve y=4'te dolu bir daire (nokta). Doğru x=0 y=0 orijininden geçmektedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Dilara, seninle birlikte bu limit sorusunu adım adım çözelim. Grafiği verilen f fonksiyonu için x bire soldan yaklaşırken istenen ifadenin limitini bulacağız.
f(x) Fonksiyonu ve Limit Analizi
Öncelikle grafiği inceleyelim. x eşittir bir noktasında grafik parçalı bir yapıya sahip. Bizim için kritik olan x bire soldan yaklaşırken f fonksiyonunun nasıl davrandığıdır.
Grafiğe baktığımızda, x değerleri soldan bire yaklaşırken, yani birin hemen solundaki değerler için fonksiyon sıfırdan başlayıp ikiye doğru çıkan bir doğru parçası üzerindedir.
Dikkat edersen fonksiyon değerleri ikiye aşağıdan yaklaşıyor, yani fonksiyonun değeri her zaman ikiden biraz küçüktür. Bu, mutlak değer içindeki ifadeyi yorumlamak için çok önemli.
Limit ifadesindeki mutlak değer içerisindeki f x eksi iki ifadesi, f x ikiden küçük olduğu için negatif olacaktır. Bu yüzden mutlak değerden önüne eksi alarak çıkar.
Şimdi grafiğin sol parçasının denklemini bulalım. Bu parça orijinden ve bir virgül iki noktasından geçiyor gibi görünüyor, ancak tam değerleri netleştirelim.
f(x) Denklemi (x < 1 için)
Orijinden geçen her doğru y eşittir m x formundadır. Bir verdiğimizde iki çıktığına göre, bu doğrunun eğimi ikidir. Yani f x eşittir iki x diyebiliriz.
Bu durumda mutlak değerli kısmımız, iki eksi iki x haline gelir. Bunu da iki parantezine alırsak iki çarpı bir eksi x elde ederiz.
Şimdi limit ifadesinin payındaki diğer çarpanı yani iki kare farkını inceleyelim.
Pay Kısmının Sadeleştirilmesi
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
