Kütüphane Masalarına Yerleşim Olasılığı

Merhaba Aslı, bu güzel olasılık sorusunu birlikte çözelim. Tümü boş olan 8 masalı bir kütüphaneye giden üç arkadaşın oturma düzeni hakkında konuşacağız.

Öncelikle örnek uzayımızı, yani bilinen olası durumların toplamını belirleyelim. Soruda Aslı'nın isteğinin gerçekleştiği biliniyor.

Bu da demek oluyor ki, 3 kişi bu 8 farklı masaya yerleşmiş. 8 masa arasından 3 farklı sıralı seçim yapma sayısı permütasyon ile bulunur. Buna evrensel kümemiz yani n e diyelim.

Sekizin üçlü permütasyonu, 8 çarpı 7 çarpı 6 işleminden 336'ya eşittir. Bu, tüm olası yerleşim durumlarının sayısıdır.

Şimdi de bulmak istediğimiz asıl duruma yani gerçekleşecek olan koşullara odaklanalım. Aslı, Berk ve Can'ın masa numaralarına küçük harflerle a, b ve c diyelim.

Önce Can'ın şartını matematiksel olarak ifade edelim. Can, 'Benim masamın numarası, sizin numaralarınızın aritmetik ortalaması olsun' diyor.

Yani c eşittir a artı b bölü iki şeklinde yazabiliriz.

İçler dışlar çarpımı yaparsak iki c eşittir a artı b buluruz. Bu çok güçlü bir ipucu! a, c ve b değerlerinin sıralı bir aritmetik dizi oluşturduğunu garantiliyor.

İkinci şart Berk'ten geliyor. Berk herhangi iki kişinin yan yana masalarda olmasını istemiyor.

Bu da masalar arasındaki farkın bir olamayacağını, yani aritmetik dizinin ortak farkının, d sembolüyle gösterirsek, ikiden büyük veya eşit olması gerektiği anlamına gelir.

O zaman aritmetik dizinin ortak farkına göre seçilebilecek masa gruplarını listeleyelim. İlk olarak aradaki farkın d=2 olduğu üçlüleri bulalım.

Masalar arasındaki fark 2 olduğunda, şu grupları elde ederiz: 1 3 5, 2 4 6, 3 5 7 ve 4 6 8. Burada tam 4 farklı grup var.