Kurvendiskussion und Integralrechnung einer ganzrationalen Funktion
Veröffentlicht:
Aufgabe 2 (30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 27, \, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild heißt $K_f$.
2.1 Zeigen Sie, dass $f$ bei $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ Nullstellen hat.
Untersuchen Sie $K_f$ auf Extrem- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-1,25 \le x \le 4$. (12 Punkte)
2.2 Prüfen Sie, ob die y-Achse den Inhalt der Fläche zwischen $K_f$ und der x-Achse im Verhältnis 1:2 teilt. (5 Punkte)
2.3 Von einem zur y-Achse symmetrischen Schaubild einer ganzrationalen Funktion vierten Grades kennt man einen Hochpunkt $H(2|9)$ und eine Nullstelle bei $x = -1$. Geben Sie ein lineares Gleichungssystem an, mit dessen Hilfe man einen passenden Funktionsterm bestimmen könnte. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Hallo! Wir wollen gemeinsam diese dreiteilige Abituraufgabe zur Kurvendiskussion und Integralrechnung Schritt für Schritt lösen.
Aufgabe 2: Kurvendiskussion und Integration
Beginnen wir mit Aufgabe zwei Punkt eins. Wir sollen zeigen, dass die Funktion an den Stellen minus eins und drei Nullstellen hat.
2.1 Nachweis der Nullstellen
Wir rechnen die Potenzen aus und erhalten minus eins, minus acht, minus achtzehn, plus siebenundzwanzig.
Das ergibt genau null. Die erste Nullstelle ist damit bestätigt.
Nun überprüfen wir die zweite Stelle und setzen die drei in unsere Funktion ein.
Das berechnet sich zu minus einundachtzig, plus zweihundertsechzehn, minus einhundertzweiundsechzig, plus siebenundzwanzig.
Auch diese Summe ergibt null. Beide Nullstellen sind somit erfolgreich nachgewiesen.
Als Nächstes untersuchen wir die Funktion auf Extrem- und Wendepunkte. Dazu bilden wir zunächst die ersten drei Ableitungen.
Extrem- und Wendepunkte
Für die Extremstellen setzen wir die erste Ableitung gleich null.
Wir können minus vier x ausklammern und erkennen in der Klammer die zweite binomische Formel.
Das lässt sich faktorisieren zu minus vier x, mal x minus drei zum Quadrat gleich null. Unserer möglichen Extremstellen sind also null und drei.
Wir setzen null in die zweite Ableitung ein. Das ergibt minus sechsunddreißig. Kleiner als null bedeutet, wir haben hier einen Hochpunkt.
Bei x gleich drei ist die zweite Ableitung null. Da hier die dritte Ableitung ungleich null ist, liegt ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente vor, also ein Sattelpunkt.
Für die restlichen Wendepunkte setzen wir die zweite Ableitung gleich null. Nach Division durch minus zwölf erhalten wir eine einfache quadratische Gleichung.
Wendepunkte
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
13 weitere Schritte sind gesperrt. Sieh dir die komplette animierte Lösung kostenlos an.
Mach ein Foto, löse jede Aufgabe so.
Den Rest kostenlos ansehen
Kostenloser Download · Erste Lösungen geschenkt
