Kurvendiskussion und Integralrechnung
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Aufgabe 4
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}x^2, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
4.1
Ermitteln Sie die Schnittpunkte von $K_f$ mit der x-Achse. Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte von $K_f$. Zeichnen Sie das Schaubild für $-2 \le x \le 5$. (9 Punkte)
4.2
Zeigen Sie, dass die Gerade $g: y = \frac{9}{4}x + \frac{5}{4}$ das Schaubild $K_f$ in $R(-1|-1)$ berührt und in $S(5|12,5)$ schneidet.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche von der Geraden $g$ und $K_f$ eingeschlossen wird. (8 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Today we will tackle task four point one, involving a cubic function f of x. We need to find its x-intercepts, local extrema, and then sketch its graph.
Aufgabe 4.1
First, let's find the intersection points with the x-axis, also known as the roots. We set the function equal to zero.
1. Schnittpunkte mit der x-Achse
To solve this, we can factor out one-fourth x squared from both terms.
Using the zero-product property, we find two roots. x equals zero is a double root, and x equals three is a single root.
So, our intersection points are N-one at zero zero and N-two at three zero.
Now, let's find the coordinates of the relative maximum and minimum points. We begin by finding the first derivative.
2. Extrema
We also need the second derivative to check the nature of these points later.
For horizontal tangents, we set the first derivative to zero.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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