Kurvendiskussion und Flächenberechnung einer kubischen Funktion
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Aufgabe 4
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}x^2, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
4.1
Ermitteln Sie die Schnittpunkte von $K_f$ mit der x-Achse.
Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte von $K_f$.
Zeichnen Sie das Schaubild für $-2 \le x \le 5$. (9 Punkte)
4.2
Zeigen Sie, dass die Gerade $g: y = \frac{9}{4}x + \frac{5}{4}$ das Schaubild $K_f$ in $R(-1|-1)$ berührt und in $S(5|12,5)$ schneidet.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche von der Geraden g und $K_f$ eingeschlossen wird. (8 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe untersuchen wir die Funktion f von x gleich ein Viertel x hoch drei minus drei Viertel x quadrat. Zuerst bestimmen wir die Schnittpunkte mit der x-Achse, die Extrempunkte und zeichnen den Graphen.
Kurvendiskussion von f(x)
Für die Schnittpunkte mit der x-Achse, also die Nullstellen, setzen wir die Funktionsgleichung gleich Null.
4.1 Nullstellen und Extrempunkte
Wir können ein Viertel x quadrat ausklammern. Damit erhalten wir x minus drei in der Klammer.
Die Lösungen sind x gleich Null und x gleich drei. Die Schnittpunkte sind also Null Null und drei Null.
Für die Extrempunkte benötigen wir die Ableitungen. Die erste Ableitung ist drei Viertel x quadrat minus drei Halbe x.
Extrempunkte
Wir setzen die erste Ableitung gleich Null und klammern drei Viertel x aus.
Das ergibt drei Viertel x mal x minus zwei gleich Null. Die Extremstellen liegen also bei x gleich Null und x gleich zwei.
Durch Einsetzen in die zweite Ableitung finden wir: Bei Null ist ein Hochpunkt bei Null Null. Bei zwei ist ein Tiefpunkt bei zwei minus eins.
H(0|0), \quad T(2|-1)
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