Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion
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**Aufgabe 4** (30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}x^2$, $x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
4.1 Ermitteln Sie die Schnittpunkte von $K_f$ mit der x-Achse. Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte von $K_f$. Zeichnen Sie das Schaubild für $-2 \le x \le 5$. (9 Punkte)
4.2 Zeigen Sie, dass die Gerade $g: y = \frac{9}{4}x + \frac{5}{4}$ das Schaubild $K_f$ in $R(-1|-1)$ berührt und in $S(5|12,5)$ schneidet.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche von der Geraden $g$ und $K_f$ eingeschlossen wird. (8 Punkte)
4.3 Überprüfen Sie, ob Punkte auf $K_f$ existieren, in denen die Steigung der Tangente den Wert -2 annimmt.
Geben Sie die kleinstmögliche Steigung von $K_f$ an. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Heute lösen wir eine Analysis-Aufgabe mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. Gegeben ist die Funktion f von x gleich ein Viertel x hoch drei minus drei Viertel x quadrat.
Gegebene Funktion
In Aufgabenteil 4 punkt 1 bestimmen wir zuerst die Schnittpunkte mit der x-Achse. Dazu setzen wir die Funktion gleich null.
4.1 Schnittpunkte mit der x-Achse
Wir können ein Viertel x quadrat ausklammern, um die Gleichung zu vereinfachen.
Daraus ergeben sich die Nullstellen bei x gleich null und x gleich drei. Als Punkte geschrieben sind das null null und drei null.
Nun berechnen wir die Extrempunkte. Dafür benötigen wir die erste und zweite Ableitung der Funktion.
4.1 Hoch- und Tiefpunkte
Für die notwendige Bedingung setzen wir die erste Ableitung gleich null.
Wir klammern drei Viertel x aus. Die Lösungen sind x gleich null und x gleich zwei.
Durch Einsetzen in die zweite Ableitung prüfen wir die Art der Extrema und berechnen die y-Werte.
In Teil 4 punkt 2 zeigen wir, dass die Gerade g das Schaubild in R berührt und in S schneidet. Berühren bedeutet, dass Funktionswerte und Steigungen gleich sein müssen.
4.2 Gerade und Kurve
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