Küre Kesiti ve İntegral Hesabı
Yayınlanma:
27. Yarıçapı 4 birim olan $O_1$ merkezli küre merkezinden $x$ birim uzaklıkta düzlemsel olarak kesiliyor. Oluşan kesitin yarıçapı $r$ birimdir. $f(x)=r$ biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, $\int_{0}^{2} f(x) dx$ integralinin değeri kaçtır? A) $2\sqrt{3}$ B) $\frac{4\pi}{3}$ C) $\sqrt{3} + 4\pi$ D) $2\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3}$ E) $2\sqrt{3} + 2\pi$
Soruda görsel içerik var: Bir küre çizimi bulunmaktadır. Kürenin merkezi O1 noktasındadır. Kürenin içerisinde bir yatay düzlem kesiti sarı renkle gösterilmiştir, kesitin merkezi O2 noktasıdır. O1 ile O2 arasındaki dikey mesafe x olarak işaretlenmiştir. O2'den kesitin kenarına olan yatay mesafe r olarak belirtilmiştir. O1'den kesitin kenarına çizilen hipotenüs uzunluğu ise 4 birimdir. Bu görsel dik üçgen ilişkisini ($x^2 + r^2 = 4^2$) göstermektedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Ali, küre kesiti üzerinden tanımlanan bir integral sorusunu birlikte çözelim.
Küre Kesiti ve İntegral
Kürenin yarıçapı dört birim verilmiş. Merkezden x kadar uzaklıktaki kesit dairesinin yarıçapı r ise, dik üçgenden Pisagor bağıntısını yazabiliriz.
Buradan r değerini, yani f x fonksiyonunu yalnız bırakalım. r kare eşittir on altı eksi x karedir.
O halde f x fonksiyonu, kök içinde on altı eksi x kareye eşittir.
Soru bizden sıfırdan ikiye kadar f x de x integralini istiyor. Yani kök içinde on altı eksi x karenin sıfır-iki aralığındaki integralini hesaplayacağız.
Bu integral, merkezi orijinde ve yarıçapı dört olan bir çemberin sıfır ile iki apsisleri arasında kalan bölgesinin alanını temsil eder.
Geometrik Yorum
İntegrali hesaplamak için x yerine dört sinüs teta dönüşümü yapabiliriz veya alanı bir üçgen ve bir daire dilimi olarak parçalayabiliriz.
Çözümün devamı Solvi’de
6 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
