Küre Kesiti ve İntegral Hesabı
Yayınlanma:
25. Yarıçapı 4 birim olan $O_1$ merkezli küre merkezinden x birim uzaklıkta düzlemsel olarak kesiliyor. Oluşan kesitin yarıçapı r birimdir.
[Görsel: Bir küre ve kürenin merkezinden x kadar yukarıda bulunan dairesel bir kesit gösterilmektedir. Kesitin merkezi $O_2$ ve yarıçapı r olarak belirtilmiştir.]
$f(x) = r$ biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, $\int_{0}^{2} f(x) dx$ integralinin değeri kaçtır?
A) $2\sqrt{3}$
B) $\frac{4\pi}{3}$
C) $\sqrt{3} + 4\pi$
D) $2\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3}$
E) $2\sqrt{3} + 2\pi$
Soruda görsel içerik var: A sphere with center O1 is shown. A cross-section disk is created at a distance x from the center O1. The radius of this disk is labeled as r. There is a vertical segment connecting O1 to the center of the disk O2, with length x. A right triangle can be formed by the radius of the sphere (4), the distance x, and the radius of the circle r, following the Pythagorean theorem $r^2 + x^2 = 4^2$.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba! Bu soruda, bir kürenin düzlemsel kesitiyle oluşturulan fonksiyonun integralini geometrik olarak hesaplayacağız. Öncelikle problemi anlayarak başlayalım.
Küre Kesiti ve İntegral Hesabı
Kürenin merkezinden x birim uzaklıkta bir kesit alınıyor. Merkez O bir, kesit merkezi ise O iki olsun. Bu durumda, kürenin yarıçapı olan 4 birim, kesit yarıçapı r ve merkez uzaklığı x arasında bir dik üçgen oluşur.
Buradan r değerini x cinsinden yalnız bırakırsak, f(x) fonksiyonunu elde ederiz.
Soru bize f(x) fonksiyonunun r'ye eşit olduğunu söylüyor. Yani fonksiyonumuz f(x) eşittir karekök içinde on altı eksi x kare olur.
Bizden sıfırdan ikiye f(x) dx integralinin değeri isteniyor. Bu integrali yazalım.
Bu integrali cebirsel olarak çözmek yerine, analitik düzlemde bir çember alanı olarak yorumlamak çok daha kolaydır. y eşittir karekök içinde on altı eksi x kare ifadesi, yarıçapı 4 olan bir çemberin üst yarısıdır.
Geometrik Yorum
Şimdi bu çemberi koordinat sisteminde çizelim ve sıfırdan ikiye kadar olan bölgenin alanını gösterelim.
Çözümün devamı Solvi’de
6 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
