Bölge Alanları ve İntegral Hesabı

Merhaba Çağla, seninle birlikte bu harika integral ve alan sorusunu adım adım çözelim.

Öncelikle grafiği inceleyelim. x artı y eşittir iki doğrusu ile koordinat eksenlerinin oluşturduğu büyük üçgene odaklanalım.

Bu dik üçgenin dik kenarları ikişer birim uzunluktadır, çünkü doğrumuz eksenleri iki noktalarında kesmektedir.

Sıfır ile iki aralığındaki bu dik üçgenin toplam alanı, taban çarpı yükseklik bölü iki formülünden iki birimkare çıkar.

Grafiğe baktığımızda ye eşittir iks üssü a eğrisinin bu toplam alanı iki bölgeye ayırdığını görüyoruz. Dolayısıyla a bir ve a iki alanlarının toplamı ikiye eşittir.

Şimdi eğrimizi inceleyelim. Sıfır ile bir aralığında, ye eşittir iks üssü a eğrisinin altında kalan alanı bulmak için integral kullanalım.

iks üssü a ifadesinin integralini aldığımızda, kuvveti bir artırıp yeni kuvvete bölüyoruz.

Sınırları yerine yazdığımızda, bu eğri altındaki alanın bir bölü a artı bir olduğunu buluruz.

Grafikten yeşil renkli a bir bölgesinin, bu eğri altında kalan alan ile bir ile iki arasındaki küçük üçgensel bölgenin toplamı olduğunu görebiliriz.

Bir ile iki arasındaki bu küçük dik üçgenin tabanı bir birim ve yüksekliği de bir birimdir.

Böylece a bir alanı, bir bölü a artı bir ile bir bölü ikinin toplamına eşit olur.