Grafiği verilen fonksiyonun belirli integrali

MathematicsIntegralsOrtaYKS

Yayınlanma:

9. Aşağıda dik koordinat düzleminde $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

[Görselde $x = -1$ için $y = 0$, $x = 1$ için $y = 2$ ve $x = 4$ için $y = 3$ noktalarından geçen bir eğri bulunmaktadır.]

Buna göre $\int_{1}^{4} \left( \frac{x \cdot f'(x) - f(x)}{x^2} \right) dx$ integralinin değeri kaçtır?

A) $-\frac{3}{4}$ B) $-\frac{1}{4}$ C) $\frac{1}{4}$ D) $\frac{1}{2}$ E) $\frac{3}{4}$

Soruda görsel içerik var: A Cartesian coordinate system showing a graph of a function y=f(x). The graph passes through the point (-1, 0) on the x-axis. It crosses the y-axis at a positive value. There is a point (1, 2) marked on the curve. Another point (4, 3) is marked on the curve further to the right. Dashed lines connect these points to their respective x and y coordinates on the axes.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Selam esra, gel bu integral sorusunu birlikte çözelim. Grafiği verilen f fonksiyonu yardımıyla bizden istenen belirli integrali hesaplayacağız.

f(x) Fonksiyonu ve İntegral

2
Adım 2

Önce integralin içindeki ifadeye dikkatle bakalım. Bu ifade sana bir şey hatırlatıyor mu?

$$\int_{-1}^{4} \frac{x \cdot f'(x) - f(x)}{x^2} dx$$
3
Adım 3

Kesirli ifadelerin türev kuralını hatırlayalım. Payın türevi çarpı payda, eksi payda çarpı payın türevi bölü paydanın karesi. Buradaki ifade, f x bölü x fonksiyonunun türevinin tam tersi işaretlisidir.

$$\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{x} \right] = \frac{f'(x) \cdot x - 1 \cdot f(x)}{x^2}$$
4
Adım 4

Gördüğün gibi integralin içindeki ifade, tam olarak f x bölü x'in türevidir. O halde integral dışına f x bölü x olarak çıkacaktır.

$$\int_{-1}^{4} \frac{x \cdot f'(x) - f(x)}{x^2} dx = \left[ \frac{f(x)}{x} \right]_{-1}^{4}$$
5
Adım 5

Şimdi sınırlarımızı yerine yazalım. Yani f 4 bölü 4 eksi, f eksi 1 bölü eksi 1 işlemini yapmalıyız.

Değerlerin Hesaplanması

$$\left[ \frac{f(x)}{x} \right]_{-1}^{4} = \frac{f(4)}{4} - \frac{f(-1)}{-1}$$

Çözümün devamı Solvi’de

4 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Integrals
Zorluk
Orta
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir