Kurbağanın Zıplama Olasılığı

Merhaba Ceylan, seninle birlikte bu harika olasılık sorusunu adım adım çözeceğiz. İlk olarak soruda bize verilen kuralları inceleyelim.

Bölmeleri kolayca takip edebilmek için, kurbağanın başlangıçta bulunduğu bölmeye büyük S harfi diyelim. Diğer boş bölmeleri ise A, B ve C olarak adlandıralım.

Kurbağa her adımda bulunduğu bölmeden diğer üç bölmeye eşit olasılıkla zıplıyor. Yani her zıplayışta üç farklı seçenek var.

Toplam dört zıplayış yapacağımız için, tüm olası durumların sayısını bulalım. Her adımda üç seçenek olduğundan, üç üzeri dört yani seksen bir farklı yol vardır.

Şimdi birinci yöntemimizi kullanarak, kurbağanın dördüncü zıplayışında tekrar S bölmesine geri döndüğü durum sayısını hesaplayalım.

Yolumuz S harfiyle başlayıp, dördüncü adımda yine S harfiyle bitmelidir. Ara adımlara x bir, x iki ve x üç diyelim.

Burada ilk adım olan x bir, mutlaka S dışındaki bölmelerden biri olmalıdır. Yani A, B veya C arasından üç seçeneğimiz vardır. Aynı şekilde son adımdan önceki x üç de S bölmesine zıplayacağı için yine S dışındaki A, B, C bölmelerinden biri olmalıdır.

Şimdi ortadaki x iki bölmesinin durumuna göre iki ayrı durum inceleyelim. Birinci durumumuz, x iki bölmesinin tekrar başlangıç bölmesi yani S olması olsun.

Eğer x iki bölmesi S ise, x bir için üç seçenek, x iki için bir seçenek ve x üç için yine üç seçenek bulunur. Bu durumda üç çarpı bir çarpı üçten dokuz farklı yol elde ederiz.

İkinci durumumuzda ise, x iki bölmesinin başlangıç bölmesi yani S olmamasını inceleyelim. Yani x iki de A, B, C kümesinde olmalıdır.

Bu durumda, x bir için yine üç seçenek vardır. x iki ise x birden farklı bir boş bölme olmalıdır. Bu yüzden x iki için iki seçenek kalır.

Benzer şekilde x üç bölmesi de x ikiden farklı bir boş bölme olmak zorundadır. Dolayısıyla x üç için de iki seçenek kalır.

O halde bu durumdaki toplam yol sayımız üç çarpı iki çarpı ikiden on iki olur.