Küp Yüzey Alanı ve Karınca Problemi

Merhaba Ecem. Bu harika TYT geometri sorusunda, ağzı açık küp biçimindeki bir kutunun yüzeyleri üzerinde hareket eden bir karıncanın en kısa yol problemini çözeceğiz.

Kutumuzun ağzı açık olduğu için, üst tabanı hariç toplam beş adet dış yüzeyi vardır. Karınca dıştaki A noktasından başlayıp, kutunun içine girerek mavi yüzün arkasındaki ağırlık merkezine yani G noktasına ulaşmak istiyor.

Kübün bir kenar uzunluğuna a diyelim. Toplam dış yüzey alanını bulmak için a değerini hesaplamamız gerekiyor. Kutunun beş adet dış yüzü olduğundan, aradığımız toplam alan beş a kare olacaktır.

Karıncanın dışarıdan içeriye en kısa yoldan girmesi için üstteki açık kenarlardan birini geçmesi gerekir. Bu en kısa yolu net bir şekilde görmek için kutuyu iki boyutlu bir düzlemde açalım.

Öncelikle dıştaki sarı yüzeyi yani ön yüzü çizelim. Karınca sol alt köşedeki A noktasından harekete başlıyor.

Karınca, üstteki F köşesinden geçerek iç yüzeye adım atabilir. Şimdi, bu geçişi görmek için içteki mavi yüzeyi, yani ağırlık merkezi G'nin bulunduğu yüzeyi, F köşesiyle ortak olacak şekilde düzleme açalım.

Bu açınımda, A noktasını başlangıç kabul edersek, iç yüzeyin tam ortasındaki ağırlık merkezi olan G noktasını işaretleyelim.

En kısa yol, düzlemde A ve G noktalarını birleştiren doğru parçasıdır. Gelin bu doğrunun yatay ve dikey bileşenlerini belirleyerek bir dik üçgen oluşturalım.

Gördüğümüz gibi, bu dik üçgenin dik kenarlarının her ikisi de bir buçuk a uzunluğundadır. Şimdi Pisagor teoremini uygulayarak en kısa yolu a cinsinden bulalım.

Her iki dik kenar da eşit olduğu için, hipotenüs uzunluğumuz dik kenarın kök iki katı olacaktır.