Küp ve Kare Dik Prizma Hacim Problemi
Yayınlanma:
39. Yüzey alanı $264\text{ cm}^2$ olan kare dik prizma biçimindeki bir cisim, içerisinde bir miktar su bulunan küp biçimindeki kabın içerisine tabanları paralel ve bir kısmı suyun içerisinde olacak biçimde yerleştiriliyor. Bu cisim tabana doğru $3\text{ cm}$ daha batırıldığında suya tamamen batmıyor ve kaptaki suyun yüksekliği $1\text{ cm}$ artıyor. Kabın hacmi, cismin hacminin $6$ katı olduğuna göre, kabın bir ayrıtının uzunluğu kaç cm'dir? A) $6$ B) $6\sqrt{2}$ C) $4\sqrt{6}$ D) $6\sqrt{3}$ E) $12$
Soruda görsel içerik var: Altta, kenarları çizilmiş, hafifçe perspektiften görünen bir küp/prizma çizimi yer almaktadır. Çizim taslak halindedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Muhammed. Seninle birlikte bu harika TYT geometri sorusunu adım adım çözelim.
Soru Analizi
Verilenler:
- Kare dik prizma biçimindeki cismin yüzey alanı $264\text{ cm}^2$.
- Kabın hacmi, cismin hacminin $6$ katıdır.
- Cisim tabana doğru $3\text{ cm}$ batırıldığında su seviyesi $1\text{ cm}$ artıyor.
- İstenen: Küp biçimindeki kabın bir ayrıtı ($k$).
İlk olarak değişkenlerimizi tanımlayalım. Küp kabın bir ayrıtına k diyelim. Kare prizmanın taban ayrıtına a ve yüksekliğine h diyelim.
Değişkenlerin Tanımlanması
Küp Kap:
- Bir ayrıtı: $k$
- Hacmi: $V_{\text{kap}} = k^3$
Kare Prizma Cisim:
- Taban ayrıtı: $a$, Yükseklik: $h$
- Hacmi: $V_{\text{cisim}} = a^2 \cdot h$
- Yüzey Alanı: $A_{\text{cisim}} = 2a^2 + 4ah = 264\text{ cm}^2$
Prizmanın yüzey alanı formülünü iki ile sadeleştirerek daha sade bir denklem elde edebiliriz.
Şimdi batma durumunu inceleyelim. Cisim tabana doğru üç santimetre itildiğinde, su seviyesi de bir santimetre yükseliyor. Bu durumu bir çizimle görelim.
Batma Durumu Analizi
Cismin suya daha çok batan kısmının yüksekliği ne kadar değişir? Cisim üç santimetre aşağı iniyor ve su seviyesi bir santimetre yukarı çıkıyor. O halde cismin suya batan yüksekliği toplamda dört santimetre artar.
Prizmanın suya batan kısmındaki yükseklik artışı:
$$\Delta h_{\text{batan}} = 3\text{ cm} + 1\text{ cm} = 4\text{ cm}$$
Peki bu ekstra batan hacim ne kadardır? Taban alanı a kare olduğuna göre, batan ek hacim dört çarpı a karedir. Bu hacim, su seviyesini tüm kapta bir santimetre yükseltir.
Buradan k kare eşittir dört a kare buluruz. Her iki tarafın karekökünü alırsak, k'nin iki a'ya eşit olduğunu elde ederiz.
Harika! Şimdi hacimler arasındaki ilişkiyi kullanalım. Kabın hacmi, cismin hacminin altı katı olarak verilmişti.
Hacim İlişkisi
Az önce bulduğumuz k eşittir iki a bağıntısını bu hacim denkleminde yerine yazalım.
İki a'nın küpü sekiz a küp yapar. Şimdi bu denklemi düzenleyelim.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
